Problema — Vero o falso sui vettori

Testo

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta: (a) due vettori con lo stesso modulo sono sempre uguali; (b) la somma di due vettori può avere modulo minore di ciascuno dei due; (c) se una grandezza ha le dimensioni $[L\,T^{-1}]$ è sicuramente una velocità.

Soluzione

(a) Falso. Un vettore è definito da modulo, direzione e verso: due vettori con lo stesso modulo possono differire per direzione o verso. Ad esempio $\vv{a} = 3\;\uv{x}$ e $\vv{b} = 3\;\uv{y}$ hanno lo stesso modulo $3$ ma sono diversi. L’uguaglianza fra vettori richiede l’accordo di tutte e tre le caratteristiche.

(b) Vero. Il modulo della somma dipende dall’angolo fra i vettori:

$\norm{\vv{a}+\vv{b}} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta}$

Se i vettori sono quasi opposti ($\theta$ prossimo a $180^\circ$, $\cos\theta$ negativo) la somma può risultare più piccola di entrambi. Esempio: $\vv{a} = 5\;\uv{x}$ e $\vv{b} = -4\;\uv{x}$ danno risultante di modulo $1$, minore sia di $5$ sia di $4$. Al limite, due vettori opposti danno somma nulla.

(c) Falso. Le dimensioni $[L\,T^{-1}]$ sono una condizione necessaria ma non sufficiente per una velocità. Molte altre grandezze condividono quelle stesse dimensioni senza essere velocità: ad esempio la portata di un condotto per unità di sezione, oppure il prodotto di una frequenza per una lunghezza d’onda. L’analisi dimensionale filtra le grandezze possibili ma non identifica univocamente il significato fisico.

Riepilogo. $\ev{\text{(a) F}\quad\text{(b) V}\quad\text{(c) F}}$

Collegamenti

Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Analisi dimensionale