Problema — Derivazione di Stevino

Testo

Dimostra, considerando una colonna di liquido a sezione costante $A$ e altezza $h$, che la pressione idrostatica alla base vale $p = \rho g h$, indipendentemente dalla forma del contenitore. Indica quali ipotesi stai usando.

Soluzione

Passo 1 — Ipotesi. Assumiamo che il liquido sia:

• incomprimibile, cioè con densità $\rho$ uniforme e costante;
• in quiete (equilibrio idrostatico, nessun moto);
• immerso in un campo di gravità uniforme di accelerazione $g$.

Passo 2 — Isoliamo la colonna. Consideriamo idealmente una colonna verticale di liquido di sezione $A$ e altezza $h$, che si estende dalla superficie libera fino alla base. Il suo volume è $V = A\,h$ e la sua massa:

$m = \rho V = \rho A h$

Passo 3 — Peso della colonna. Il peso della colonna, diretto verso il basso, vale:

$P = mg = \rho A h\,g$

Passo 4 — Equilibrio della base. La colonna è in quiete: la forza che il liquido sottostante (o il fondo) esercita verso l’alto sulla sua base deve bilanciarne il peso. Questa forza $F$ agisce sulla superficie $A$, quindi la pressione alla base è forza su area:

$p = \frac{F}{A} = \frac{P}{A} = \frac{\rho A h\,g}{A} = \rho g h$

Risultato.

$\ev{p = \rho g h}$

Passo 5 — Indipendenza dalla forma. La sezione $A$ si semplifica: la pressione non dipende dall’area della colonna né, di conseguenza, dalla forma del recipiente, ma solo dalla profondità $h$ sotto la superficie libera (paradosso idrostatico). A parità di $h$, un contenitore stretto e uno largo danno la stessa pressione sul fondo.

Verifica dimensionale. $[\rho][g][h] = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\text{m} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2} = \dfrac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa}$, coerente con una pressione. ✓

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Pressione · Legge di Stevino Competenze: Analisi dimensionale