Calciatore gittata e altezza massima

Testo

Un calciatore tira un pallone con velocità iniziale di $20\;\text{m/s}$ a un angolo di $30^\circ$ rispetto al suolo. Calcola: (a) l’altezza massima raggiunta; (b) la gittata; (c) il tempo di volo. Trascura l’attrito dell’aria.

Soluzione

Strategia: scomporre il moto. Il moto parabolico si tratta separando la velocità iniziale nelle sue due componenti cartesiane: quella orizzontale resta costante (nessuna forza orizzontale), quella verticale è soggetta all’accelerazione di gravità $g \approx 9{,}81\;\text{m/s}^2$ verso il basso. Con $v_0 = 20\;\text{m/s}$ e $\theta = 30^\circ$:

$v_{0x} = v_0 \cos\theta = 20\cos 30^\circ \approx 17{,}3\;\text{m/s}, \qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta = 20\sin 30^\circ = 10{,}0\;\text{m/s}$

(a) Altezza massima. Nel punto più alto la componente verticale della velocità si annulla. Da $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2 g\, h_{\max}$ con $v_y = 0$:

$h_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(10{,}0)^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 5{,}1\;\text{m}$

$\ev{h_{\max} \approx 5{,}1\;\mathrm{m}}$

(c) Tempo di volo. Conviene ricavarlo prima della gittata. Il pallone parte e ricade alla stessa quota; il tempo di volo è il doppio del tempo di salita $t_{\text{sal}} = v_{0y}/g$:

$t_{\text{volo}} = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2\cdot 10{,}0}{9{,}81} \approx 2{,}0\;\text{s}$

$\ev{t_{\text{volo}} \approx 2{,}0\;\mathrm{s}}$

(b) Gittata. Lungo l’orizzontale il moto è uniforme a velocità $v_{0x}$, per tutto il tempo di volo:

$G = v_{0x}\, t_{\text{volo}} = 17{,}3\cdot 2{,}0 \approx 35{,}3\;\text{m}$

$\ev{G \approx 35{,}3\;\mathrm{m}}$

Verifica. La gittata si ottiene anche dalla formula compatta $G = v_0^2 \sin(2\theta)/g = (20)^2 \sin 60^\circ / 9{,}81 \approx 35{,}3\;\text{m}$, in accordo con il calcolo per componenti.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica · Vettori Concetti: Moto parabolico Competenze: Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane