Esercizio svolto — due scatole con molla e puleggia

Testo

La scatola 1 ($3\;\text{kg}$) è attaccata a una molla ($K = 100\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 1\;\text{m}$) ancorata al muro, e a una fune che passa sopra una puleggia e regge la scatola 2 ($4\;\text{kg}$) in verticale. La molla è allungata: $\ell = 2\;\text{m}$. Trova l’accelerazione delle scatole.

Soluzione

Passo 1 — Diagramma di interazione. Cerchiando la scatola 1 si contano 4 biscioline uscenti: il peso (Terra), la forza elastica della molla (muro), la tensione della fune (scatola 2) e la reazione vincolare del pavimento. Sulla scatola 1 agiscono quindi 4 forze.

Passo 2 — Corpo libero della scatola 1 (moto orizzontale). La molla è allungata di $\Delta\ell = \ell - \ell_0 = 2 - 1 = 1\;\text{m}$, quindi tira verso il muro con $F_m = K\,\Delta\ell = 100 \cdot 1 = 100\;\text{N}$ diretta lungo $-x$. Il peso vale $P_1 = m_1 g = 3 \cdot 9{,}81 \approx 29{,}4\;\text{N}$. Scriviamo $\vv{P}_1 + \vv{R}_1 + \vv{F}_m + \vv{t}_1 = m_1\,\vv{a}$:

$\begin{pmatrix} 0 \\ -29{,}4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ R_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -100 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$

Asse $y$: $R_1 = 29{,}4\;\text{N}$. Asse $x$: $-100 + t = 3a \quad \text{(I)}$

Passo 3 — Corpo libero della scatola 2 (moto verticale). La scatola 2 pende dalla fune; se la scatola 1 accelera verso $+x$ (verso la puleggia), la scatola 2 accelera verso il basso con lo stesso modulo $a$:

$-m_2 g + t = -m_2 a \quad\Rightarrow\quad -39{,}2 + t = -4a \quad \text{(II)}$

Risoluzione del sistema. Da (II) ricavo $t = 39{,}2 - 4a$ e sostituisco in (I):

$-100 + 39{,}2 - 4a = 3a \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{60{,}8}{7}$

$\ev{a \approx -8{,}7\;\text{m/s}^2}$

Il segno negativo indica che la scatola 1 accelera in verso opposto a quello ipotizzato: la molla, molto tesa, vince la tensione e riporta indietro il sistema. La tensione si ottiene da (II), $t = m_2(g - a)$:

$t = 4\,\bigl(9{,}8 - (-8{,}7)\bigr) = 4 \cdot 18{,}5$

$\ev{t \approx 74\;\text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione · Forza elastica e legge di Hooke · Forza normale Competenze: Diagramma di interazione · Diagramma di corpo libero Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Molla · Puleggia · Blocco · Fune ideale