Il giro della morte

Uno dei problemi più affascinanti della meccanica: un oggetto che percorre un loop verticale (il giro della morte) restando aderente alla pista. Il momento critico è la sommità del loop, dove sia il peso $\vec{P}$ che la reazione vincolare $\vec{R}$ puntano entrambi verso il centro (verso il basso).

Giro della morte. Al punto B (sommità), sia il peso $\vec{P}$ che la reazione $\vec{R}$ puntano verso il centro. La condizione $R \geq 0$ impone $v_B \geq \sqrt{gr}$.

Alla sommità, la somma di peso e reazione fornisce la forza centripeta: $P + R = mv_B^2/r$, cioè $mg + R = mv_B^2/r$. La chiave fisica è che la pista può solo spingere, non tirare: la reazione vincolare deve essere $R \geq 0$. Imponendo questa condizione si ottiene la velocità minima al vertice.

Principio — Condizione per completare il loop

Alla sommità del loop la reazione vincolare deve essere $R \geq 0$ (la pista può solo spingere). Questo impone una velocità minima: $\ev{v_{\min}^2 = g\,r}$ dove $r$ è il raggio del loop.

Al di sotto di $v_{\min}$ la gravità è più della forza centripeta richiesta: il corpo si stacca dalla pista e cade verso l’interno. Per trovare da quale altezza far partire il corpo affinché arrivi in cima con almeno $v_{\min}$, si usa la conservazione dell’energia (vedi Il giro della morte: approccio energetico), che dà l’elegante risultato $h = \tfrac{5}{2}r$.

I loop veri non sono circolari

Nei veri “loop” dei parchi giochi e delle montagne russe, la forma non è circolare ma una clotoide (spirale di Eulero): il raggio diminuisce andando verso l’alto, permettendo di completare il giro con una velocità minore e forze $g$ meno violente sul corpo.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Forza normale · Conservazione dell’energia meccanica Oggetti: Giro della morte

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