Accelerazione sul piano inclinato con attrito

Testo

Schematizza, in funzione dell’angolo $\theta$ di inclinazione del piano, l’andamento qualitativo dell’accelerazione di un blocco che scende con attrito dinamico $\mu_d = 0{,}30$, confrontandolo con il caso senza attrito. Indica il valore di $\theta$ per cui l’accelerazione è nulla e quello per cui è massima (su un piano di $90^\circ$).

Soluzione

Legge dell’accelerazione. Lungo il piano, per un blocco che scende, la componente del peso $mg\sin\theta$ tira verso il basso e l’attrito dinamico $\mu_d N = \mu_d\,mg\cos\theta$ si oppone. La seconda legge di Newton dà: $a(\theta) = g\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$ Nel caso liscio ($\mu_d = 0$) si riduce a $a_0(\theta) = g\sin\theta$.

Angolo di accelerazione nulla. Il blocco (già in moto) rallenta o resta a velocità costante quando $a = 0$: $\sin\theta = \mu_d\cos\theta \;\Rightarrow\; \tan\theta = \mu_d = 0{,}30 \;\Rightarrow\; \theta \approx 16{,}7^\circ$ Per $\theta < 16{,}7^\circ$ la formula darebbe $a<0$: significa che l’attrito è in grado di fermare il blocco (in moto) e, da fermo, l’attrito statico lo tiene fermo.

$\ev{a = 0 \text{ per } \theta \approx 16{,}7^\circ}$

Massimo. $a(\theta)$ cresce con $\theta$ e raggiunge il massimo sul piano verticale, $\theta = 90^\circ$, dove $\cos 90^\circ = 0$ (l’attrito sparisce perché $N\to 0$) e $\sin 90^\circ = 1$: $a(90^\circ) = g\,(1 - 0) = g \approx 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}$

$\ev{a_\text{max} = g \text{ a } \theta = 90^\circ \text{ (caduta libera)}}$

Grafico qualitativo (confronto).

$\theta$	$a_0 = g\sin\theta$ (liscio)	$a = g(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)$ (con attrito)
$0^\circ$	$0$	$\approx -2{,}9$ (resta fermo, $a=0$)
$16{,}7^\circ$	$\approx 2{,}8$	$0$
$30^\circ$	$4{,}9$	$\approx 2{,}4$
$45^\circ$	$\approx 6{,}9$	$\approx 4{,}8$
$90^\circ$	$9{,}8$	$9{,}8$

La curva liscia $a_0 = g\sin\theta$ parte da $0$ e sale in modo monotono fino a $g$. La curva con attrito è traslata verso il basso e verso destra: parte da zero solo a $\theta\approx 16{,}7^\circ$, sta sempre sotto la curva liscia (di $\mu_d g\cos\theta$), ma le due curve si ricongiungono a $\theta = 90^\circ$, dove entrambe valgono $g$ perché la normale — e quindi l’attrito — si annulla. La differenza fra le due curve è massima a $\theta$ piccoli e si riduce a zero verso $90^\circ$.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica · Attrito Concetti: Attrito dinamico · Seconda legge di Newton · Forza normale · Forza peso Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Applicazione delle leggi di Newton · Uso della trigonometria Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Piano inclinato · Blocco