Periodo delle piccole oscillazioni

Se la curva $E_\text{pot}(x)$ è una parabola, $E_\text{pot}(x) = a\,x^2 + b\,x + c$, il corpo oscilla tra i due punti di inversione con un moto armonico. Questo è un risultato di grande portata: una buca di potenziale a forma di parabola produce sempre lo stesso tipo di moto, quello armonico semplice, indipendentemente dal sistema fisico concreto che l’ha generata. Che si tratti di una molla, di un pendolo per piccoli angoli o di un qualsiasi corpo vicino a un minimo di energia potenziale, se la curva vicino al minimo è ben approssimata da una parabola il moto è armonico e il suo periodo dipende solo dalla “ripidità” della parabola e dalla massa.

Il periodo di oscillazione si può calcolare direttamente dal coefficiente della parabola, senza passare per la forza:

Principio — Periodo delle oscillazioni da $E_\text{pot}$

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2a\cos^2\alpha}}}$ dove $a$ è il coefficiente di $x^2$ nella parabola $E_\text{pot}(x)$, $m$ la massa del corpo, e $\alpha$ l’angolo tra la direzione del moto del corpo e la direzione lungo cui misuriamo la coordinata $x$.

Il coefficiente $a$ misura quanto rapidamente l’energia potenziale cresce allontanandosi dal minimo: una parabola stretta e ripida (grande $a$) corrisponde a una forza di richiamo intensa e quindi a oscillazioni rapide, cioè a un periodo breve; una parabola larga e schiacciata (piccolo $a$) dà oscillazioni lente. La massa gioca il ruolo opposto: più il corpo è pesante, più fatica a invertire il moto e più lungo è il periodo. La radice quadrata riflette il fatto che quadruplicare la massa, o dimezzare la ripidità, raddoppia il periodo.

Il fattore $\cos^2\alpha$ tiene conto del fatto che la coordinata $x$ con cui misuriamo l’energia potenziale può non coincidere con la direzione lungo cui il corpo si muove davvero.

Tip

Se $x$ è lungo il moto, $\alpha = 0$ e $\cos^2\alpha = 1$. Se $x$ è la proiezione orizzontale di un moto inclinato, $\alpha$ è l’inclinazione e il periodo aumenta.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Moto armonico semplice · Periodo e frequenza · Energia potenziale elastica Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Oggetti: Molla

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