Problema — Frequenza propria di un grattacielo

Testo

Stima la frequenza propria di oscillazione orizzontale di un grattacielo alto $h \approx 200\;\text{m}$, modellandolo come una trave flessibile analoga a un pendolo invertito. Discuti perché ingegneri civili si preoccupano di evitare la risonanza con le onde sismiche e il vento.

Soluzione

Una regola empirica di ingegneria strutturale stima il periodo fondamentale come $T \approx N/10$ secondi, con $N$ numero di piani. Un edificio di $200\;\text{m}$ ha circa $60$ piani, quindi $T \approx \frac{60}{10} = 6\;\text{s}$ Un modello a trave dà lo stesso ordine di grandezza: per travi geometricamente simili la frequenza scala come $f \propto 1/h$, quindi un edificio alto oscilla lentamente. In ogni caso il risultato cade nella banda $\ev{f \sim 10^{-2}\text{–}10^{-1}\;\text{Hz}}$ cioè periodi da qualche frazione di secondo a diversi secondi.

Perché conta: le onde sismiche di lungo periodo e le raffiche di vento hanno contenuto spettrale proprio in questa banda. Se una forzante esterna coincide con la frequenza propria, si ha risonanza e le ampiezze crescono fino a danneggiare la struttura. Per questo gli ingegneri progettano l’edificio in modo da spostare il modo fondamentale fuori dalle bande pericolose e installano smorzatori di massa accordati (come il grande pendolo del Taipei 101), che assorbono energia e riducono l’ampiezza.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Risonanza · Periodo e frequenza Competenze: Stime di Fermi · Approssimazione delle piccole oscillazioni