La molla ideale e l'equazione del moto

Una massa attaccata a una molla ideale è il prototipo di ogni oscillatore. La forza di richiamo $F = -Kx$ e la seconda legge di Newton danno l’equazione del moto armonico semplice; la sua soluzione è una sinusoide con tre parametri (ampiezza, pulsazione, fase), da cui ricaviamo velocità e accelerazione.

• L’equazione del moto armonico semplice
• La soluzione: seno e coseno
• Velocità e accelerazione

A mass attached to an ideal spring is the prototype of every oscillator. The restoring force $F = -Kx$ and Newton’s second law give the equation of simple harmonic motion; its solution is a sinusoid with three parameters (amplitude, angular frequency, phase), from which we derive velocity and acceleration.

• The equation of simple harmonic motion
• The solution: sine and cosine
• Velocity and acceleration

Consideriamo una massa $m$ collegata a una molla di costante elastica $k$, su un piano orizzontale liscio. Indichiamo con $x$ lo spostamento della massa dalla posizione di riposo. La forza elastica è di richiamo, $F = -kx$: punta sempre verso l’equilibrio, con intensità proporzionale a quanto ce ne siamo allontanati. La seconda legge di Newton dà allora

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -k\,x$

È un’equazione differenziale lineare del second’ordine a coefficienti costanti, e definisce il moto armonico semplice. La sua struttura — “l’accelerazione è proporzionale alla posizione, con segno opposto” — è ciò che rende il moto oscillatorio: appena il corpo si sposta, nasce una forza che lo rispinge indietro, lo fa passare per l’equilibrio, lo rallenta dall’altra parte, e così via.

Principio — Equazione del moto armonico semplice (MAS)

Un sistema obbedisce al moto armonico semplice se la sua accelerazione è proporzionale alla coordinata, con il segno opposto: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ dove $\omega$ è la pulsazione angolare (in rad/s).

Per la massa-molla, confrontando $m\ddot x = -kx$ con $\ddot x = -\omega^2 x$, si legge subito la pulsazione:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}$

Intuizione

Più rigida la molla ($k\uparrow$) o più leggera la massa ($m\downarrow$), più veloce è l’oscillazione. La rigidità fornisce la “voglia di tornare indietro”, l’inerzia della massa la contrasta: la loro contesa fissa il ritmo.

▶8.01x Lez. 10 — Legge di Hooke, molle, pendoli — Walter Lewin

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Consider a mass $m$ attached to a spring of stiffness $k$, on a smooth horizontal plane. Let $x$ denote the displacement of the mass from its rest position. The elastic force is restoring, $F = -kx$: it always points towards equilibrium, with a magnitude proportional to how far we have moved away from it. Newton’s second law then gives

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -k\,x$

This is a second-order linear differential equation with constant coefficients, and it defines simple harmonic motion. Its structure — “the acceleration is proportional to the position, with the opposite sign” — is what makes the motion oscillatory: as soon as the body moves away, a force arises that pushes it back, carries it through equilibrium, slows it down on the other side, and so on.

Principle — Equation of simple harmonic motion (SHM)

A system obeys simple harmonic motion if its acceleration is proportional to the coordinate, with the opposite sign: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ where $\omega$ is the angular frequency (in rad/s).

For the mass-spring system, comparing $m\ddot x = -kx$ with $\ddot x = -\omega^2 x$, we immediately read off the angular frequency:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}$

Intuition

The stiffer the spring ($k\uparrow$) or the lighter the mass ($m\downarrow$), the faster the oscillation. Stiffness supplies the “urge to go back”, the mass’s inertia opposes it: their contest sets the rhythm.

▶8.01x Lect 10 — Hooke's Law, Springs, Pendulums — Walter Lewin

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Quali funzioni, se le deriviamo due volte, ritornano uguali a sé stesse ma con il segno cambiato? Il seno e il coseno. Non è un caso: sono proprio le funzioni che risolvono l’equazione del moto armonico semplice, $\ddot x = -\omega^2 x$ (il simbolo $\ddot x$ indica la derivata seconda di $x$ rispetto al tempo, cioè l’accelerazione). La soluzione generale è

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

dove i tre parametri hanno significati distinti:

• $A$ è l’ampiezza (m), il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio;
• $\omega$ è la pulsazione (rad/s), legata al periodo $T$ e alla frequenza $f$ da $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ è la fase iniziale (rad), che dipende da posizione e velocità del corpo a $t = 0$.

Intuizione

$A$, $\omega$ e $\varphi$ sono “l’ampiezza”, “quanto velocemente” e “da dove parte”. Fissano completamente il moto: dati questi tre numeri, sappiamo dov’è il corpo in ogni istante.

Verifica. Deriviamo $x(t)$ due volte e controlliamo che soddisfi l’equazione:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: l’accelerazione è proporzionale a $x$ con segno opposto e costante $\omega^2$. La sinusoide è davvero la soluzione.

Formula chiave — Periodo della massa-molla

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Notare l’indipendenza dall’ampiezza: $T$ non dipende da quanto in là tiriamo la massa, finché la molla resta nella legge di Hooke. Per la molla ideale l’isocronia è esatta, non un’approssimazione di piccole oscillazioni. L’aneddoto di Galileo e delle lampade del Duomo di Pisa riguarda il pendolo, e sta nella pagina delle piccole oscillazioni del pendolo.

Perché compare $2\pi$

Il $2\pi$ rappresenta un giro completo: il moto armonico è la proiezione su un asse di un moto circolare uniforme di raggio $A$. Un’oscillazione avanti-e-indietro corrisponde a un giro dell’angolo $\omega t$.

▶Moto armonico semplice — Physics Girl

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Which functions, if we differentiate them twice, come back equal to themselves but with the sign changed? Sine and cosine. This is no coincidence: they are precisely the functions that solve the equation of simple harmonic motion, $\ddot x = -\omega^2 x$ (the symbol $\ddot x$ means the second derivative of $x$ with respect to time, that is, the acceleration). The general solution is

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

where the three parameters have distinct meanings:

• $A$ is the amplitude (m), the maximum displacement from the equilibrium position;
• $\omega$ is the angular frequency (rad/s), related to the period $T$ and the frequency $f$ by $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ is the initial phase (rad), which depends on the position and velocity of the body at $t = 0$.

Intuition

$A$, $\omega$ and $\varphi$ are “the amplitude”, “how fast” and “where it starts from”. They completely fix the motion: given these three numbers, we know where the body is at every instant.

Check. Let us differentiate $x(t)$ twice and verify that it satisfies the equation:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: the acceleration is proportional to $x$ with the opposite sign and constant $\omega^2$. The sinusoid really is the solution.

Key formula — Period of the mass-spring system

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Note the independence from the amplitude: $T$ does not depend on how far we pull the mass, as long as the spring stays within Hooke’s law. For an ideal spring the isochronism is exact, not a small-oscillation approximation. Galileo’s story of the swinging lamps in Pisa Cathedral is about the pendulum, and it belongs on the page about the pendulum’s small oscillations.

Why $2\pi$ appears

The $2\pi$ represents one complete turn: harmonic motion is the projection onto an axis of uniform circular motion of radius $A$. One back-and-forth oscillation corresponds to one turn through the angle $\omega t$.

▶Simple Harmonic Motion — Physics Girl

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Dalla soluzione $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, derivando una e due volte, otteniamo velocità e accelerazione dell’oscillatore:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

I valori massimi sono $|v|_\text{max} = A\omega$ (raggiunto al passaggio dall’equilibrio, dove tutta l’energia è cinetica) e $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (raggiunto negli estremi, dove la forza di richiamo è massima).

Le tre grandezze non sono in fase. La velocità $v$ e la posizione $x$ sono sfasate di $\pi/2$: quando una è massima l’altra è nulla, e viceversa (nel punto di massima elongazione il corpo è fermo un istante; nel punto di equilibrio va più veloce). L’accelerazione $a$ e la posizione $x$ sono invece in opposizione di fase: un picco di $x$ corrisponde a un anti-picco di $a$, coerentemente con $a = -\omega^2 x$.

Posizione (blu), velocità (oro) e accelerazione (rossa tratteggiata) di un oscillatore armonico. La velocità è in anticipo di un quarto di periodo sulla posizione; l’accelerazione è il suo specchio rovesciato.

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From the solution $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, differentiating once and twice, we obtain the velocity and acceleration of the oscillator:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

The maximum values are $|v|_\text{max} = A\omega$ (reached when passing through equilibrium, where all the energy is kinetic) and $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (reached at the extremes, where the restoring force is greatest).

The three quantities are not in phase. The velocity $v$ and the position $x$ are out of phase by $\pi/2$: when one is maximum the other is zero, and vice versa (at the point of maximum elongation the body is momentarily at rest; at the equilibrium point it moves fastest). The acceleration $a$ and the position $x$, on the other hand, are in phase opposition: a peak of $x$ corresponds to an anti-peak of $a$, consistent with $a = -\omega^2 x$.

Position (blue), velocity (gold) and acceleration (dashed red) of a harmonic oscillator. The velocity leads the position by a quarter period; the acceleration is its mirror image, flipped.

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