Velocità e accelerazione nel moto armonico

Dalla soluzione $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, derivando una e due volte, otteniamo velocità e accelerazione dell’oscillatore:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

I valori massimi sono $|v|_\text{max} = A\omega$ (raggiunto al passaggio dall’equilibrio, dove tutta l’energia è cinetica) e $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (raggiunto negli estremi, dove la forza di richiamo è massima).

Le tre grandezze non sono in fase. La velocità $v$ e la posizione $x$ sono sfasate di $\pi/2$: quando una è massima l’altra è nulla, e viceversa (nel punto di massima elongazione il corpo è fermo un istante; nel punto di equilibrio va più veloce). L’accelerazione $a$ e la posizione $x$ sono invece in opposizione di fase: un picco di $x$ corrisponde a un anti-picco di $a$, coerentemente con $a = -\omega^2 x$.

Posizione (blu), velocità (oro) e accelerazione (rossa tratteggiata) di un oscillatore armonico. La velocità è in anticipo di un quarto di periodo sulla posizione; l’accelerazione è il suo specchio rovesciato.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice Competenze: Lettura dei grafici

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