Tutte le piccole oscillazioni sono armoniche

Il moto armonico non è un caso particolare: è generico. Ogni sistema in equilibrio stabile, se spostato di poco e lasciato libero, oscilla armonicamente. La ragione sta nella forma dell’energia potenziale vicino a un minimo.

Sviluppiamo l’energia potenziale $E_p(x)$ in serie di Taylor attorno al punto di equilibrio $x_0$:

$E_p(x) = E_p(x_0) + \underbrace{E_p'(x_0)}_{=\,0}(x-x_0) + \tfrac{1}{2}\,E_p''(x_0)\,(x-x_0)^2 + \cdots$

Il termine lineare è nullo perché nel punto di equilibrio la forza $F = -E_p'$ è zero (è la definizione di equilibrio). Trascurando i termini di ordine superiore — leciti per spostamenti piccoli — l’energia potenziale ha la forma di una parabola:

$E_p(x) \approx \tfrac{1}{2}\,k\,(x-x_0)^2, \qquad k = E_p''(x_0)$

e la forza che ne deriva è $F = -\dfrac{\dd E_p}{\dd x} = -k(x-x_0)$: identica alla legge di Hooke. È lo stesso identico oscillatore armonico della molla.

Principio — Universalità del moto armonico

Vicino a un punto di equilibrio stabile, ogni sistema oscilla armonicamente con pulsazione $\ev{\omega = \sqrt{\frac{E_p''(x_0)}{m}}}$ La “costante elastica effettiva” $k$ è la derivata seconda dell’energia potenziale nel punto di equilibrio: misura quanto è “ripida” la buca di potenziale.

Perché è ovunque

Per questo le molecole vibrano armonicamente attorno ai loro legami, e i circuiti $LC$ “oscilleranno” come molle: qualunque buca di potenziale, vista abbastanza da vicino, è una parabola. Avevamo già usato questa idea nel capitolo sull’energia e il lavoro, ricavando il periodo delle piccole oscillazioni direttamente dalla parabola tangente a $U(x)$; qui ne abbiamo dato la spiegazione strutturale.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Forze conservative Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Metodi: Approssimazione lineare delle piccole oscillazioni

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Trovare A e φ dalle condizioni iniziali · Problema — Massa su due molle in parallelo · Problema — Periodo e frequenza massa-molla