Oscillazioni forzate e risonanza

Se applichiamo a un oscillatore una forza esterna periodica $F_\text{est}(t) = F_0\cos(\omega t)$, con o senza smorzamento, il sistema entra in regime forzato. Dopo un transitorio iniziale, il moto diventa oscillatorio alla frequenza della forzante (non a quella propria):

$x(t) = A(\omega)\cos(\omega t - \delta)$

L’ampiezza a regime dipende dalla distanza fra la frequenza forzante $\omega$ e la frequenza propria $\omega_0$, ed è tanto più grande quanto più le due si avvicinano:

$\ev{A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}}$

Principio — Risonanza

L’ampiezza $A(\omega)$ ha un picco quando $\omega \approx \omega_0$. È il fenomeno della risonanza: una forzante alla frequenza propria del sistema ne amplifica enormemente l’ampiezza, limitata solo dallo smorzamento. Per $\zeta\to 0$ l’ampiezza al picco tende all’infinito (catastrofe lineare) (Pain 2005). Vedi Riferimenti bibliografici.

Curve di risonanza per tre valori di smorzamento. Più $\zeta$ è piccolo, più alto e stretto è il picco attorno a $\omega = \omega_0$.

Risonanza in natura e in tecnologia

La risonanza è il principio dietro:

• il ponte di Tacoma Narrows, crollato nel 1940 sotto un vento che ne ha eccitato un modo torsionale a circa $0{,}2$ Hz;
• la cassa armonica di chitarra e violino, sintonizzata sulle frequenze utili;
• il forno a microonde, sintonizzato sul modo vibrazionale dell’acqua a circa $2{,}45$ GHz;
• la risonanza magnetica nucleare (MRI) in medicina;
• il circuito $LC$ delle radio analogiche, dove il legame con la massa-molla diventerà esplicito nel capitolo sull’induzione.

L'analogia dell'altalena

Risonanza significa “spingere al ritmo giusto”: se spingi un’altalena in fase con la sua frequenza propria, ogni spinta aggiunge energia e l’ampiezza esplode. Spingere fuori tempo, invece, a volte aggiunge e a volte toglie, e non si va da nessuna parte.

▶ Risonanza: e se le altalene avessero le molle? — Steve Mould

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Risonanza · Oscillazioni smorzate Oggetti: Molla

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