Problema — Pendoli di piombo e sughero

Testo

Due pendoli identici per lunghezza, ma uno ha una sfera di piombo e l’altro una sfera di sughero di stessa dimensione. Quale oscilla con periodo maggiore? Perché il risultato cambia se l’ampiezza non è piccola? Discuti quale ruolo gioca l’attrito dell’aria.

Soluzione

Caso ideale (piccole oscillazioni, no attrito). Il periodo del pendolo semplice è:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

Non compare la massa: la massa inerziale che frena e la massa gravitazionale che tira si semplificano. Quindi, a parità di lunghezza, i due pendoli hanno lo stesso periodo:

$\ev{T_\text{piombo} = T_\text{sughero}}$

Ruolo dell’attrito dell’aria. La resistenza dell’aria dipende dalla forma e dalla dimensione della sfera, non dalla sua massa. A parità di area, la stessa forza frenante agisce su una massa piccola (sughero) e su una massa grande (piombo). Sul sughero l’effetto relativo è molto più forte: il sughero perde ampiezza rapidamente e si ferma prima. Se lo smorzamento è forte, il periodo effettivo del sughero aumenta leggermente rispetto al valore ideale.

Ampiezza non piccola. Per ampiezze grandi il periodo cresce rispetto al valore delle piccole oscillazioni, con la correzione approssimata:

$T \approx T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$

Questo effetto vale per entrambi. Però il sughero, smorzandosi in fretta, riduce presto la propria ampiezza: il suo periodo tende quindi a tornare rapidamente verso il valore delle piccole oscillazioni, mentre il piombo mantiene più a lungo ampiezze grandi.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice