Problema — Orologio a pendolo e temperatura

Testo

Un orologio a pendolo è tarato a una temperatura di $20\;^\circ$C, con asta di lunghezza $\ell_0 = 0{,}500\;\text{m}$ e periodo $T_0 = 1{,}419\;\text{s}$. Se la temperatura sale a $30\;^\circ$C, l’asta si dilata (coeff. di dilatazione $\alpha = 1{,}2\cdot 10^{-5}\;\text{K}^{-1}$). Il periodo aumenta o diminuisce? Di quanto in percentuale?

Soluzione

Il periodo del pendolo dipende dalla radice della lunghezza: $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, cioè $T \propto \sqrt{\ell}$.

La dilatazione termica dell’asta per $\Delta\theta = 30 - 20 = 10\;\text{K}$ dà una variazione relativa di lunghezza:

$\frac{\Delta\ell}{\ell} = \alpha\, \Delta\theta = 1{,}2\cdot 10^{-5} \cdot 10 = 1{,}2\cdot 10^{-4}$

Poiché $T \propto \sqrt{\ell}$, la variazione relativa del periodo è la metà di quella della lunghezza:

$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2}\,\frac{\Delta\ell}{\ell} = \frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 10^{-4} = 6\cdot 10^{-5}$

L’asta si allunga, quindi il pendolo diventa più lento e il periodo aumenta:

$\ev{\frac{\Delta T}{T} \approx +6\cdot 10^{-5} \approx +0{,}006\%}$

Nota: un periodo più lungo significa che l’orologio conta i secondi troppo lentamente: col caldo l’orologio a pendolo ritarda leggermente.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Dilatazione termica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice