Urto di un proiettile contro un'asta

È il problema classico che illustra la conservazione di $\vec{L}$: un proiettile che colpisce un’asta incernierata e vi rimane conficcato, mettendola in rotazione. Vale la pena capirne a fondo la logica, perché è il modello di innumerevoli situazioni, dalla porta girevole colpita a spalla al pendolo balistico rotazionale.

Il cuore del ragionamento è la scelta del polo. Durante l’urto il cardine esercita una reazione impulsiva intensa: se la ignorassimo, sbaglieremmo. Ma scegliendo il cardine come polo, questa reazione ha braccio zero e quindi non contribuisce al momento angolare. Anche il peso dell’asta ha braccio, ma non è impulsivo (agisce debolmente nel brevissimo istante dell’urto). Il risultato: il momento angolare rispetto al cardine si conserva.

Prima dell’urto solo il proiettile ha momento angolare (l’asta è ferma); dopo, asta e proiettile ruotano insieme come un corpo rigido:

$m\,v_0\,L = \left(\tfrac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\omega$

A sinistra il momento angolare del proiettile (braccio $L$, perché colpisce l’estremo); a destra il prodotto del momento d’inerzia totale del sistema per la velocità angolare comune. Il momento d’inerzia dell’asta rispetto al cardine è $\tfrac{1}{3}ML^2$ (estremo), quello del proiettile puntiforme all’estremo è $mL^2$.

Perché la quantità di moto non si conserva

In un urto anelastico con un corpo rigido che ruota attorno a un cardine, la quantità di moto non si conserva: c’è la reazione impulsiva del cardine, che è una forza esterna al sistema. Ma il momento angolare rispetto al cardine sì: è la sola grandezza che sopravvive alla presenza del vincolo, ed è per questo che è così preziosa.

L’urto è fortemente anelastico: gran parte dell’energia cinetica iniziale del proiettile si trasforma in calore, suono e deformazione. Lo svolgimento numerico completo, con verifica dell’energia dissipata, è nell’esercizio svolto dedicato.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Urto anelastico · Momento d’inerzia Competenze: Scelta del polo Oggetti: Asta · Proiettile

Esercizi collegati: Problema — Disco rotante colpito tangenzialmente · Esercizio svolto — proiettile contro asta incernierata · Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia