La pattinatrice che tira le braccia

L’esempio più famoso di conservazione del momento angolare è la pattinatrice che gira su sé stessa e accelera raccogliendo le braccia. È un sistema non rigido: cambia la propria forma, e quindi il proprio momento d’inerzia, mentre ruota.

Esempio — Conservazione in un sistema non rigido

Una pattinatrice gira con le braccia aperte a $\omega_A = 2\;\mathrm{rad/s}$ e momento d’inerzia $I_A = 8\;\mathrm{kg\,m^2}$. Tirando le braccia al corpo, il momento d’inerzia scende a $I_B = 3\;\mathrm{kg\,m^2}$. Quanto vale la velocità angolare finale?

Nessun momento esterno agisce (l’attrito del ghiaccio rispetto all’asse verticale è trascurabile), quindi $\vec{L}$ si conserva: $I_A\omega_A = I_B\omega_B \;\Rightarrow\; \omega_B = \frac{I_A}{I_B}\omega_A = \frac{8}{3}\cdot 2 \approx 5{,}3\;\mathrm{rad/s}$ La pattinatrice gira più di due volte più veloce!

C’è però un dettaglio controintuitivo. Mentre il momento angolare resta costante, l’energia cinetica rotazionale aumenta. Scrivendola come $E_\text{cin,rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{L^2}{2I}$, si vede che al diminuire di $I$ (a $L$ costante) l’energia cresce. Da dove viene questa energia extra? Dal lavoro muscolare delle braccia: per avvicinarle all’asse la pattinatrice deve tirarle contro la forza centrifuga apparente, e quel lavoro finisce nell’energia cinetica di rotazione.

L'effetto pirouette

È il celebre “effetto della pirouette”: accorciare il raggio di rotazione riduce $I$ e, per conservare $L = I\omega$, aumenta $\omega$. La conservazione del momento angolare non regala energia — quella la fornisce il corpo con il proprio lavoro — ma redistribuisce la rotazione in modo spettacolare. Lo stesso principio spiega il tuffatore che si raccoglie a palla.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia · Energia cinetica rotazionale

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