Problema — Momento torcente rettangolare e L(t)

Testo

Un disco rigido è libero di ruotare attorno a un asse orizzontale. Gli viene applicato un momento torcente $\tau(t)$ a forma di rettangolo positivo di altezza $\tau_0 = 2{,}0\;\mathrm{N\,m}$ per $0 < t < 3{,}0\;\mathrm{s}$ e zero altrove. (a) Disegna l’andamento di $L(t)$ e di $\omega(t)$ se $I = 0{,}50\;\mathrm{kg\,m^2}$ e il disco parte da fermo. (b) Che relazione c’è tra l’area del rettangolo e il momento angolare finale?

Soluzione

Il momento angolare è l’integrale del momento: $\tau = \dfrac{dL}{dt}$, quindi $L(t)$ è l’area accumulata sotto $\tau(t)$. Con $\tau$ costante $= \tau_0$ per $3\;\mathrm{s}$, $L$ cresce linearmente fino a $L_\text{fin} = \tau_0\cdot\Delta t = 2{,}0\cdot 3{,}0 = 6{,}0\;\mathrm{kg\,m^2/s}$ poi resta costante (momento nullo). La velocità angolare è $\omega(t) = L(t)/I$, quindi una rampa che raggiunge $\omega_\text{fin} = 6{,}0/0{,}50 = 12\;\mathrm{rad/s}$.

A sinistra $L(t)$, a destra $\omega(t)$: entrambe rampe lineari durante l’applicazione del momento, poi costanti.

(b) L’area del rettangolo $\tau(t)$ è esattamente l’impulso angolare, pari alla variazione di momento angolare: $\ev{\text{area} = \tau_0\,\Delta t = \Delta L = L_\text{fin} = 6{,}0\;\mathrm{kg\,m^2/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento angolare · Momento di una forza Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Disco rotante