Problema — Asta incernierata che cade dall'orizzontale

Testo

Un’asta omogenea di massa $M = 0{,}80\;\mathrm{kg}$ e lunghezza $L = 1{,}0\;\mathrm{m}$ è incernierata a un estremo e può ruotare in un piano verticale. Parte dalla posizione orizzontale, in quiete, e viene lasciata libera. Trova la velocità angolare quando passa per la verticale (asta verso il basso). Usa $I = \tfrac{1}{3}ML^2$.

Soluzione

L’asta ruota attorno al cardine: si conserva l’energia meccanica. Il centro di massa, inizialmente all’altezza del cardine, scende di $L/2$ quando l’asta è verticale. L’energia potenziale persa diventa energia cinetica rotazionale: $Mg\,\frac{L}{2} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3}ML^2\right)\omega^2$ La massa si semplifica; risolvendo per $\omega$: $g\,\frac{L}{2} = \tfrac{1}{6}L^2\omega^2 \quad\Rightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{\frac{3\cdot 9{,}81}{1{,}0}}$ $\ev{\omega \approx 5{,}4\;\mathrm{rad/s}}$ Nota che il risultato non dipende dalla massa: come nella caduta libera, è solo la geometria a contare.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica rotazionale · Momento d’inerzia Oggetti: Asta