Velocità di fuga dalla Terra (energia)

Testo

Usando la conservazione dell’energia, calcola la velocità di fuga dalla superficie terrestre. Dati: $M_T = 6{,}0\cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6{,}4\cdot 10^6\ \text{m}$, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

Soluzione

Impostazione con l’energia. La velocità di fuga è la minima velocità iniziale per cui l’oggetto arriva all’infinito con velocità nulla. Il caso limite è energia meccanica totale nulla. Tra la superficie (A) e l’infinito (B): $\tfrac{1}{2}m v_f^2 - \frac{GM_T m}{R_T} = \underbrace{0}_{E_{\text{cin},\infty}} + \underbrace{0}_{E_{\text{pot},\infty}}$

La massa $m$ dell’oggetto si semplifica: $v_f = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}$

Sostituzione numerica. $v_f = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}0\cdot 10^{24}}{6{,}4\cdot 10^6}} = \sqrt{\frac{8{,}0\cdot 10^{14}}{6{,}4\cdot 10^6}} = \sqrt{1{,}25\cdot 10^8}$

$\ev{v_f \approx 11{,}2\ \text{km/s}}$

La velocità di fuga non dipende dalla massa dell’oggetto che fugge: un sasso e un’astronave hanno la stessa $v_f$.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Velocità di fuga · Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale gravitazionale universale Competenze: Conservazione dell’energia