Problema — Distribuzione di velocità: idrogeno o ossigeno

Testo

Un grafico mostra $f(v)$ di ossigeno e idrogeno alla stessa temperatura. Una curva ha picco $v_p$ più alto e stretto, l’altra picco basso e spostato verso destra. Quale curva è quale, e perché?

Soluzione

Alla stessa temperatura le molecole hanno la stessa energia cinetica media, ma velocità diverse perché hanno massa diversa. La velocità più probabile della distribuzione di Maxwell-Boltzmann è $v_p=\sqrt{\frac{2k_B T}{m}}\quad\Longrightarrow\quad v_p\propto\frac{1}{\sqrt m}$ L’idrogeno $H_2$ ha massa molare $2$ g/mol, l’ossigeno $O_2$ ha $32$ g/mol: la molecola di $O_2$ è 16 volte più pesante. Quindi $\frac{v_{p,\,H_2}}{v_{p,\,O_2}}=\sqrt{\frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}}=\sqrt{16}=4$ Il picco dell’idrogeno cade a velocità quattro volte maggiore: la sua curva è quella spostata verso destra.

Perché più larga e più bassa. Ogni distribuzione è normalizzata: l’area sotto la curva vale sempre 1 (rappresenta tutte le molecole). $\int_0^{\infty} f(v)\,\dd v = 1$ Se la curva dell’idrogeno si estende su un intervallo di velocità più ampio (è più larga), per mantenere l’area unitaria deve necessariamente abbassarsi. L’ossigeno, con il picco a velocità piccole, ha una distribuzione stretta e quindi alta.

Conclusione. La curva stretta e alta con picco a sinistra è l’ossigeno; la curva larga, bassa e col picco spostato a destra è l’idrogeno. $\ev{\text{larga/bassa/picco a destra} = H_2;\quad \text{stretta/alta/picco a sinistra} = O_2}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann · Velocità quadratica media Competenze: Lettura dei grafici