La formula di Boltzmann

Il legame tra il numero di microstati $\Omega$ e l’entropia $S$ è dato da una delle formule più importanti di tutta la fisica, dovuta a Ludwig Boltzmann.

Formula chiave — Entropia di Boltzmann

$\ev{S = k_B\,\ln\Omega}$

Qui $k_B = 1{,}38\cdot 10^{-23}\;\text{J/K}$ è la costante di Boltzmann e $\Omega$ è il numero di microstati compatibili con il macrostato. L’unità di misura dell’entropia è dunque il joule per kelvin (J/K), le stesse unità di $k_B$, dato che il logaritmo è un numero puro.

Perché proprio il logaritmo? La scelta non è arbitraria. Il logaritmo trasforma un numero di configurazioni gigantesco (per una mole, $\Omega$ è dell’ordine di $10$ elevato a numeri con $23$ cifre) in un valore maneggevole. Ma soprattutto rende l’entropia additiva: se uniamo due sistemi indipendenti, il numero totale di microstati è il prodotto dei due ($\Omega = \Omega_1 \cdot \Omega_2$, perché ogni microstato del primo si combina con ogni microstato del secondo), e grazie al logaritmo le entropie si sommano:

$S = k_B\ln(\Omega_1\,\Omega_2) = k_B\ln\Omega_1 + k_B\ln\Omega_2 = S_1 + S_2$

Questa additività è esattamente la proprietà che ci aspettiamo da una grandezza estensiva come l’energia: raddoppiando il sistema, l’entropia raddoppia.

Contano le variazioni, non i valori assoluti

Nella pratica dei problemi non ci interessano mai i valori assoluti di $S$, ma solo le variazioni $\Delta S = S_B - S_A$ tra uno stato iniziale A e uno finale B. Per i sistemi più comuni (gas ideale, corpi solidi, termostati) esistono formule dirette che permettono di calcolare $\Delta S$ senza dover contare i microstati $\Omega$ uno per uno.

Queste formule pratiche sono il tema della sezione successiva: sono il vero strumento di lavoro per risolvere i problemi di termodinamica.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia Competenze: Interpretazione micro-macro

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