Calore dal caldo al freddo: dimostrazione

Testo

Due termostati a temperature $T_1 > T_2$ vengono collegati termicamente e scambiano una quantità di calore $Q$. Partendo dalle formule $\Delta S_\text{term} = Q/T_\text{term}$, dimostra che la condizione $\Delta S_\text{tot} \ge 0$ implica che il calore $Q$ fluisca dal termostato caldo a quello freddo. Specifica il caso limite in cui $\Delta S_\text{tot} = 0$.

Soluzione

Sia $Q$ il calore che passa dal termostato caldo a quello freddo. Il termostato caldo cede $Q$, quindi riceve $-Q$ e la sua entropia varia di $-Q/T_1$; il termostato freddo riceve $+Q$ e la sua entropia varia di $+Q/T_2$. La variazione totale è $\Delta S_\text{tot} = -\frac{Q}{T_1} + \frac{Q}{T_2} = Q\,\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}$

Poiché $T_1 > T_2$ e le temperature assolute sono positive, il fattore $\dfrac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}$ è strettamente positivo. Quindi il segno di $\Delta S_\text{tot}$ coincide con il segno di $Q$: $\Delta S_\text{tot} \ge 0 \iff Q \ge 0$ Il secondo principio, imponendo $\Delta S_\text{tot} \ge 0$, obbliga $Q \ge 0$: il calore fluisce effettivamente dal termostato caldo a quello freddo, mai spontaneamente al contrario.

Caso limite: $\ev{\Delta S_\text{tot} = 0}$ si ha solo se $Q = 0$ (nessuno scambio) oppure nel limite $T_1 \to T_2$, cioè contatto reversibile tra corpi a temperature infinitamente vicine.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia · Secondo principio della termodinamica · Temperatura Competenze: Bilancio entropico · Analisi di casi limite e fantafisica