Esercizio svolto — il caffè si raffredda

Testo

$0{,}1\;\text{kg}$ di caffè (approssimato come acqua, $c_s = 4180\;\text{J/(kg·K)}$) a $T_A = 80\;^\circ\text{C} = 353\;\text{K}$ viene lasciato raffreddare fino a $T_B = 20\;^\circ\text{C} = 293\;\text{K}$ in una stanza a $20\;^\circ\text{C}$ (termostato). Calcolare $\Delta S_\text{tot}$.

Soluzione

Impostazione. Il sistema isolato comprende due componenti: il caffè (che si raffredda) e l’atmosfera della stanza, che si comporta come un termostato a $T_\text{atm} = 293\;\text{K}$. Calcoliamo separatamente le due variazioni di entropia e le sommiamo.

Entropia del caffè (diminuisce, perché si raffredda): $\Delta S_\text{caffè} = m c_s \ln\frac{T_B}{T_A} = 0{,}1\cdot 4180\cdot\ln\frac{293}{353} = -77{,}9\;\text{J/K}$

Calore ceduto al termostato. Il calore che esce dal caffè entra nell’atmosfera: $Q = m c_s (T_A - T_B) = 0{,}1\cdot 4180\cdot 60 = 25\,080\;\text{J}$

Entropia del termostato (l’atmosfera riceve $Q$ a temperatura costante): $\Delta S_\text{atm} = \frac{Q}{T_\text{atm}} = \frac{25\,080}{293} = 85{,}6\;\text{J/K}$

Variazione totale: $\Delta S_\text{tot} = -77{,}9 + 85{,}6 = \ev{+7{,}7\;\text{J/K} > 0}$

Il risultato è strettamente positivo, quindi il processo è irreversibile: il caffè non tornerebbe mai caldo da solo, anche se l’energia totale si conserverebbe. La diminuzione di entropia del caffè è più che compensata dall’aumento di entropia dell’ambiente.

E se lo riscaldassimo di nuovo?

Se provassimo a riscaldare il caffè rimettendolo in un forno a $80\;^\circ\text{C}$, l’entropia totale crescerebbe ancora. L’entropia del caffè tornerebbe al valore iniziale ($+77{,}9\;\text{J/K}$), ma quella del forno diminuirebbe solo di $25\,080/353 = 71{,}0\;\text{J/K}$. La differenza $+6{,}9\;\text{J/K}$ è l’irreversibilità dell’intero ciclo: non si torna mai allo stato iniziale dell’universo.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia · Secondo principio della termodinamica · Calore specifico e capacità termica Competenze: Bilancio entropico