Due vie per calcolare il campo

Dai concetti precedenti — linee di campo, densità di linee ed equipotenziali — emergono due strategie complementari per ricavare il campo $\vec{E}$ in un punto. La prima parte dalle sorgenti e dalle linee di campo, la seconda dal potenziale e dalle equipotenziali: sono due porte d’ingresso allo stesso problema, e la scelta dipende da quali informazioni abbiamo a disposizione.

Via 1 — Superficie perpendicolare (linee di campo)

È il metodo diretto del paradigma di Faraday:

1. Disegna (o immagina) le linee di campo nella regione di interesse.
2. Scegli una piccola superficie $S_\perp$ perpendicolare alle linee nel punto desiderato.
3. Conta $N$, la carica equivalente in coulomb delle linee che la attraversano.
4. Calcola $|\vec{E}| = 4\pi k\, N/S_\perp$.

Quando il problema possiede una simmetria — sferica, cilindrica o planare — si può scegliere $S_\perp$ in modo che l’intero flusso si riduca al prodotto $|\vec{E}| \cdot S_\perp$: questo è esattamente ciò che fa il teorema di Gauss. La simmetria fa il lavoro pesante, permettendo di portare $|\vec{E}|$ fuori dalla somma sui contributi delle linee.

Via 2 — Gradiente del potenziale

Se si conosce $V$ nello spazio (o si possono disegnare le equipotenziali), si usa $|\vec{E}| \approx \frac{|\Delta V|}{\Delta d}$ dove $\Delta d$ è la distanza tra due equipotenziali ravvicinate con differenza $|\Delta V|$. La direzione di $\vec{E}$ è perpendicolare all’equipotenziale, nel verso in cui $V$ decresce.

La Via 2 è spesso la più comoda quando si dispone di una mappa di potenziale: l’intensità del campo si legge dalla spaziatura delle equipotenziali (più fitte, campo più intenso) e la direzione dalla perpendicolare alle stesse. È il legame fra campo e potenziale letto all’inverso rispetto alla definizione di $V$.

Attenzione

$\vec{E}$ punta sempre dal potenziale alto verso il potenziale basso — come l’acqua che scende. In termini formali, $\vec{E}$ è il “gradiente in discesa” di $V$, con il segno meno: il campo indica la direzione lungo cui il potenziale diminuisce più rapidamente.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale · Elettrostatica Concetti: Campo elettrico · Potenziale elettrico

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