Flusso e lemma di Gauss

Il flusso delle linee di campo è lo strumento unificante di tutta l’elettrostatica dei campi. Conviene partire dalla forma più generale, quella valida per le superfici aperte, per poi arrivare alla legge di Gauss per superfici chiuse come caso particolare.

Data una qualsiasi superficie $\mathcal{S}$ (aperta o chiusa), orientata da una normale $\uv{n}$, si definisce il flusso del campo elettrico attraverso di essa come l’integrale della componente normale del campo:

$\Phi(\vec{E},\mathcal{S}) = \int_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot\dd\vec{S} \approx \sum_i \vec{E}_i \cdot \Delta\vec{S}_i$

Il significato geometrico è semplice e potente: il flusso conta quante linee di campo forano la superficie, con segno positivo se le linee escono nel verso di $\uv{n}$ e negativo se la attraversano nel verso opposto. Il flusso netto è dunque una misura con segno del numero di linee passanti.

Principio — Lemma di Gauss per superfici aperte

Il flusso del campo $\vec{E}$ attraverso qualsiasi superficie $\mathcal{S}$ è proporzionale al numero netto di linee che la attraversano: $\ev{\Phi(\vec{E},\mathcal{S}) = 4\pi k\,N_{\mathcal{S}}}$ dove $N_{\mathcal{S}}$ è la carica equivalente (in coulomb) delle linee che forano $\mathcal{S}$, contata con segno ($+$ nel verso di $\uv{n}$, $-$ nel verso opposto).

Note

Poiché $4\pi k = 1/\varepsilon_0$, il lemma si può scrivere anche nella forma compatta $\Phi = \frac{N_{\mathcal{S}}}{\varepsilon_0}$

Questo è il punto di partenza del paradigma di Gauss: invece di eseguire il faticoso integrale di $\vec{E}$ su $\mathcal{S}$, basta contare le linee che la attraversano. È un cambio di prospettiva che, in presenza di simmetria, semplifica enormemente il calcolo del campo.

Il lemma di Gauss per superfici aperte. A sinistra: tutte le linee bucano la superficie nello stesso verso ($N = 6$, flusso positivo). A destra: alcune linee attraversano nella direzione di $\uv{n}$ (rosse, $+$), altre in senso opposto (blu, $-$); il flusso netto vale $4\pi k(N_+ - N_-)$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

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