Dal campo al raggio sferico

Inverso: dal campo al raggio sferico. Una sfera conduttrice di raggio sconosciuto è caricata con $Q = 8\ \mu\text{C}$. Il campo elettrico misurato a $r = 1{,}5\ \text{m}$ dal centro vale $E = 2{,}0\cdot 10^4\ \text{N/C}$. Verifica con la legge di Coulomb il valore atteso, commenta l'eventuale discrepanza, e calcola il potenziale alla superficie supponendo $R = 0{,}1\ \text{m}$.

Soluzione

Valore atteso (Coulomb / Gauss). Fuori da una sfera carica il campo è quello di una carica puntiforme concentrata nel centro: $E_\text{teo} = \frac{kQ}{r^2} = \frac{(9\cdot 10^9)(8\cdot 10^{-6})}{(1{,}5)^2} = \frac{7{,}2\cdot 10^4}{2{,}25}$ $\ev{E_\text{teo} \approx 3{,}2\cdot 10^4 \ \text{N/C}}$

Discrepanza. Il valore misurato $E = 2{,}0\cdot 10^4$ N/C è inferiore all’atteso $3{,}2\cdot 10^4$ N/C (circa il 60 %). In un caso ideale i due dovrebbero coincidere; lo scarto suggerisce cause reali: cariche indotte o schermatura da parte di oggetti o umidità circostanti, una parziale dispersione della carica, oppure un’incertezza di misura. Il teorema di Gauss resta valido: dà il campo se tutta la carica $Q$ è racchiusa e l’ambiente non introduce cariche aggiuntive.

Potenziale alla superficie (con $R = 0{,}1$ m). Per un conduttore sferico il potenziale della superficie è quello di una carica puntiforme a distanza $R$: $V_\text{sup} = \frac{kQ}{R} = \frac{(9\cdot 10^9)(8\cdot 10^{-6})}{0{,}1} = \frac{7{,}2\cdot 10^4}{0{,}1}$ $\ev{V_\text{sup} = 7{,}2\cdot 10^5 \ \text{V} = 720 \ \text{kV}}$

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Teorema di Gauss · Potenziale elettrico Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Sfera carica