Gauss per superfici chiuse

Quando la superficie $\mathcal{S}$ è chiusa (come un pallone) e la si orienta con la normale $\uv{n}$ rivolta verso l’esterno, accade qualcosa di speciale. Ogni linea di campo generata da una carica esterna entra ed esce dalla superficie esattamente una volta: contribuisce con $+1$ nel punto di uscita e con $-1$ nel punto di ingresso, quindi con contributo netto nullo. Solo le linee generate dalle cariche interne danno un contributo netto al flusso.

Principio — Teorema di Gauss per superfici chiuse

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende soltanto dalla carica racchiusa: $\ev{\Phi(\vec{E}) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}}$ dove $Q_{\text{int}}$ è la carica totale racchiusa dalla superficie e $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ è la costante dielettrica del vuoto.

Note

Poiché $4\pi k = 1/\varepsilon_0$, il teorema di Gauss in forma chiusa è semplicemente il lemma di Gauss applicato a una superficie chiusa, con le cariche esterne che si elidono a coppie: $\Phi = 4\pi k \cdot N_{\text{nette}} = 4\pi k \cdot Q_{\text{int}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$

Il teorema di Gauss diventa uno strumento di calcolo potente quando la geometria del problema possiede una simmetria che permette di estrarre $\abs{\vec{E}}$ dall’integrale di flusso: in quei casi il campo è costante in modulo sulla superficie gaussiana e si può portare fuori dall’integrale. Le situazioni standard (sfera, guscio, piano, filo) sono trattate nelle sezioni seguenti.

Teorema di Gauss: il flusso dipende solo dalla carica racchiusa dentro la superficie chiusa. Se la carica è esterna, ogni linea che entra esce anche, e il flusso netto è nullo.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

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