Campo di una sfera uniformemente carica

Consideriamo una sfera di raggio $R$ con carica totale $Q$ distribuita uniformemente nel volume, e cerchiamo il campo elettrico a distanza $r$ dal centro. La simmetria sferica garantisce che il campo sia radiale e con modulo costante su ogni sfera concentrica: possiamo dunque scegliere come superficie gaussiana una sfera di raggio $r$ e portare $E$ fuori dall’integrale di flusso, $\Phi = E\cdot 4\pi r^2$.

Fuori dalla sfera ($r > R$). La superficie gaussiana racchiude tutta la carica $Q$. Il teorema di Gauss dà:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = k\,\frac{Q}{r^2}$

All’esterno la sfera si comporta esattamente come una carica puntiforme concentrata nel centro: il campo decresce come $1/r^2$.

Dentro la sfera ($r < R$). Ora la superficie gaussiana racchiude solo la frazione di carica contenuta nella sfera di raggio $r$. Poiché la densità è uniforme, la carica racchiusa scala col volume, cioè come $r^3/R^3$:

$Q_{\text{int}} = Q\,\frac{r^3}{R^3} \quad\Rightarrow\quad E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = k\,\frac{Q}{R^3}\,r$

All’interno il campo è dunque lineare in $r$: parte da zero al centro, cresce fino al massimo sulla superficie ($r = R$), e da lì in poi decresce come $1/r^2$.

Formula chiave

Sfera uniformemente carica di raggio $R$ e carica $Q$: $\ev{\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} & &(r > R) \\ E &= k\,\frac{Q}{R^3}\,r & &(r < R) \end{aligned}}$ Il campo cresce linearmente dentro, raggiunge il massimo in $r = R$, poi decade come $1/r^2$ fuori.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Sfera carica

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