Campo di un piano infinito

Un piano infinito con densità superficiale di carica $\sigma$ (coulomb per metro quadro) genera un campo uniforme e perpendicolare al piano: sorprendentemente, il campo non dipende dalla distanza dal piano.

Note

Perché $E$ non dipende dalla distanza dal piano? Perché al crescere di $r$ aumenta la quantità di piano che il punto “vede”, e i due effetti — l’allontanamento e l’aumento di superficie efficace — si compensano esattamente.

Calcolo con Gauss (pillbox). Si sceglie come superficie gaussiana un cilindretto (pillbox) di sezione $A$ che attraversa il piano, con le due basi parallele ad esso. Per simmetria il campo è perpendicolare al piano e uguale in modulo sulle due facce, mentre sulla superficie laterale è parallelo alla normale e non contribuisce al flusso. Il flusso totale è dunque la somma dei contributi delle due basi:

$\Phi = E \cdot A + E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \ev{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$

Formula chiave

Piano infinito con densità superficiale $\sigma$: $\ev{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$ Il campo è costante, indipendente dalla distanza $r$ dal piano.

Piano infinito: superficie gaussiana a forma di pillbox (cilindretto viola tratteggiato). Il flusso è non nullo solo sulle due facce di area $A$ parallele al piano; la superficie laterale non dà contributo ($\vec{E} \perp \uv{n}$). Il risultato $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ è indipendente dalla distanza.

Attenzione

Tra le due piastre di un condensatore piano ciascuna piastra contribuisce con $\sigma/(2\varepsilon_0)$, e i due campi si sommano: $E_{\text{tot}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ All’esterno delle piastre, invece, i due campi si annullano.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Piano infinito carico

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