Due sfere conduttrici collegate

Testo

Una sfera conduttrice di raggio $r_1 = 5\;\text{cm}$ porta carica $Q_1 = +8{,}0\;\mu\text{C}$. Una seconda sfera di raggio $r_2 = 3\;\text{cm}$ porta carica $Q_2 = -2{,}0\;\mu\text{C}$. Le due sfere vengono collegate con un filo conduttore sottile e lungo (la distanza tra i centri è molto maggiore dei raggi). Trovare la carica su ciascuna sfera dopo il collegamento.

Soluzione

Impostazione. Dopo il collegamento le due sfere e il filo formano un unico conduttore in equilibrio elettrostatico. Valgono due vincoli: la conservazione della carica totale e l’uguaglianza dei potenziali.

Vincolo 1 — conservazione della carica. La carica totale non può sparire né crearsi: si redistribuisce soltanto. $Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 8{,}0 + (-2{,}0) = +6{,}0\;\mu\text{C}$

Vincolo 2 — uguale potenziale. In un conduttore all’equilibrio il potenziale è lo stesso ovunque. Poiché la distanza tra le sfere è molto maggiore dei raggi, ciascuna sfera si comporta come una carica puntiforme isolata, con potenziale sulla superficie $V = kQ/r$: $V_1' = k\,\frac{Q_1'}{r_1} = k\,\frac{Q_2'}{r_2} = V_2' \;\Rightarrow\; \frac{Q_1'}{Q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{3}$

Soluzione del sistema. Da $Q_1' = \tfrac{5}{3}Q_2'$ sostituito nel primo vincolo: $\begin{aligned} \tfrac{5}{3}\,Q_2' + Q_2' &= 6{,}0\;\mu\text{C} \\ \tfrac{8}{3}\,Q_2' &= 6{,}0\;\mu\text{C} \\ Q_2' &= \frac{6{,}0 \times 3}{8} = 2{,}25\;\mu\text{C} \end{aligned}$ $Q_1' = 6{,}0 - 2{,}25 = 3{,}75\;\mu\text{C}$

Verifica. I due potenziali coincidono: $V_1' = (9\cdot 10^9)\,\frac{3{,}75\cdot 10^{-6}}{0{,}05} = 6{,}75\cdot 10^{5}\;\text{V} \qquad V_2' = (9\cdot 10^9)\,\frac{2{,}25\cdot 10^{-6}}{0{,}03} = 6{,}75\cdot 10^{5}\;\text{V}\;\checkmark$

$\ev{Q_1' = 3{,}75\;\mu\text{C}, \qquad Q_2' = 2{,}25\;\mu\text{C}}$

Osservazione. La sfera più piccola raccoglie meno carica, ma la sua densità superficiale $\sigma_2 = Q_2'/(4\pi r_2^2)$ è maggiore di $\sigma_1$: il campo esterno è più intenso vicino alla sfera minore. In generale i conduttori con raggi di curvatura minori (le punte) concentrano il campo, principio su cui si basa il parafulmine.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Conduttori in equilibrio elettrostatico · Potenziale elettrico · Carica elettrica Oggetti: Sfera carica