Criterio di Rayleigh e potere risolutivo

La diffrazione non è solo un fenomeno curioso: è ciò che pone un limite fondamentale alla nitidezza di ogni strumento ottico. Quando la luce di una sorgente puntiforme attraversa l’apertura circolare di un obiettivo, non forma un punto ma un dischetto sfocato (il disco di Airy), a causa della diffrazione. Due sorgenti vicine producono due dischetti che, se troppo ravvicinati, si fondono e non si riescono più a distinguere.

Il criterio di Rayleigh stabilisce la separazione minima per cui due sorgenti sono ancora appena risolvibili.

Formula chiave — Criterio di Rayleigh

Due sorgenti puntiformi viste attraverso un’apertura circolare di diametro $D$ sono appena distinguibili quando il loro angolo di separazione vale: $\ev{\theta_\text{min} \approx 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}}$ Il fattore $1{,}22$ deriva dalla diffrazione di Fraunhofer su un’apertura circolare.

Il messaggio è chiaro: per risolvere dettagli più fini (piccolo $\theta_\text{min}$) serve un’apertura $D$ grande oppure una lunghezza d’onda $\lambda$ piccola. È il motivo per cui i grandi telescopi hanno specchi enormi e i microscopi più spinti usano luce a corta lunghezza d’onda.

Esempio — Limite di risoluzione dell'occhio (e del Webb)

L’iride umana ha diametro $D \approx 3\;\text{mm}$. Per luce visibile media ($\lambda \approx 550\;\text{nm}$): $\theta_\text{min} \approx 1{,}22\cdot 550\cdot 10^{-9}/(3\cdot 10^{-3}) \approx 2{,}2\cdot 10^{-4}\;\text{rad} \approx 45''$ A $10\;\text{m}$ di distanza possiamo così distinguere oggetti separati di circa $2\;\text{mm}$. I telescopi fanno molto meglio: col James Webb ($D = 6{,}5\;\text{m}$) si ha $\theta_\text{min} \approx 10^{-7}\;\text{rad}$, sufficiente a risolvere una moneta a $30\;\text{km}$ di distanza — se non ci fosse l’atmosfera di mezzo.

Collegamenti

Argomenti: Onde Concetti: Diffrazione

Esercizi collegati: Problema — Ecografia lunghezza d’onda degli ultrasuoni · Elettrone a 300 V e diffrazione cristallina · de Broglie di un elettrone a 70 V