Elettrone a 300 V e diffrazione cristallina

Testo

Elettrone e de Broglie. Un elettrone è accelerato da una differenza di potenziale $V = 300\;\text{V}$. Calcola la lunghezza d’onda di de Broglie associata. Disegna schematicamente l’esperimento, indicando accelerazione, bersaglio cristallino e rivelatore.

Soluzione

Passo 1 — Energia cinetica. L’elettrone acquista $K = eV = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 300 = 4{,}8\cdot 10^{-17}\;\text{J}$.

Passo 2 — Quantità di moto (non relativistico, $K \ll m_e c^2$):

$p = \sqrt{2 m_e K} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 4{,}8\cdot 10^{-17}} = \sqrt{8{,}75\cdot 10^{-47}} \approx 9{,}35\cdot 10^{-24}\;\text{kg·m/s}$

Passo 3 — Lunghezza d’onda di de Broglie.

$\ev{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}35\cdot 10^{-24}} \approx 7{,}1\cdot 10^{-11}\;\text{m} \approx 0{,}071\;\text{nm}}$

Commento (esperimento). L’elettrone, accelerato dalla d.d.p. $V$, colpisce un bersaglio cristallino; poiché $\lambda \approx 0{,}07\;\text{nm}$ è confrontabile con il passo reticolare ($\sim 0{,}1\;\text{nm}$), il cristallo lo diffrange e il rivelatore raccoglie i massimi a certi angoli (condizione di Bragg). È l’esperimento di Davisson–Germer, prova diretta della natura ondulatoria dell’elettrone.

Nota numerica $\lambda_\text{dB} = 1{,}226\,\text{nm}/\sqrt{V}$ si ha $\lambda = 1{,}226/\sqrt{300} \approx 0{,}0708\;\text{nm} \approx 7{,}1\cdot 10^{-11}\;\text{m}$.

Con

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Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Lunghezza d’onda di de Broglie · Diffrazione