L'effetto Hall

Quando una corrente $i$ scorre in un conduttore piatto immerso in un campo magnetico $\vec{B}$ perpendicolare al piano della corrente, appare una differenza di potenziale trasversale: è l’effetto Hall (Edwin Hall, 1879).

Effetto Hall: la corrente in un campo trasverso accumula cariche su un bordo, creando una tensione $\Delta V_H$ perpendicolare alla corrente.

Spiegazione fisica. La corrente è dovuta a portatori di carica $q$ (positivi o negativi a seconda del materiale) con velocità di deriva $v_d$. Su ognuno agisce la forza di Lorentz $\vec{F} = q\,\vec{v}_d\times\vec{B}$ che li spinge verso un bordo del conduttore. Le cariche accumulate lì creano un campo elettrico trasverso $\vec{E}_H$ che a regime equilibra la forza magnetica:

$q\,E_H = q\,v_d\,B \quad\Longrightarrow\quad \ev{V_H = v_d\,B\,w}$

dove $w$ è la larghezza del conduttore. Inserendo $v_d = i/(n\,e\,A)$, con $n$ densità di portatori e $A = w\,t$ sezione ($t$ spessore):

$V_H = \frac{i\,B}{n\,e\,t}$

Formula chiave — Effetto Hall

$V_H = \frac{iB}{net}$ $R_H = 1/(ne)$: coefficiente di Hall, dipende solo dal materiale. Il segno di $V_H$ rivela il segno della carica dei portatori.

Principio — Conseguenze dell'effetto Hall

• Fornisce una misura diretta di $n$ (densità di portatori) e del segno della carica: in alcuni semiconduttori $V_H$ ha segno opposto a quello previsto per gli elettroni, indicando portatori effettivi positivi (le lacune).
• Le sonde Hall sono usate ovunque serva misurare $\vec{B}$ elettronicamente: motori brushless, sensori ABS automotive, pedali magnetici, pickup di chitarra.
• Su scala micro, l’effetto Hall quantistico (von Klitzing, 1980; Nobel 1985) mostra che a basse temperature e campi intensi $V_H$ è quantizzato in multipli interi o frazionari di $h/e^2$, definendo lo standard primario di resistenza ($R_K = h/e^2 \approx 25\,812\;\Omega$).

Esempio — Sonda Hall di laboratorio

Una lamina di indio antimoniuro (InSb) ha spessore $t = 0{,}1\;\text{mm}$, larghezza $w = 5\;\text{mm}$ e densità di portatori $n = 2{,}5\cdot 10^{22}\;\text{m}^{-3}$. Con $i = 100\;\text{mA}$ in un campo $B = 0{,}5\;\text{T}$: $V_H = \frac{iB}{net} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}5}{2{,}5\cdot 10^{22}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-4}} \approx 0{,}125\;\text{V} = 125\;\text{mV}$ Ben misurabile con un voltmetro standard. In un metallo ($n \approx 10^{29}\;\text{m}^{-3}$) la stessa configurazione darebbe $V_H \sim 30\;\mu\text{V}$: per questo le sonde Hall si fanno con semiconduttori, non con metalli — pochi portatori, tensione grande.

Sintesi

Hall: $V_H = iB/(net)$. Misura $B$, $n$ e il segno dei portatori. Le sonde Hall sono il magnetometro più diffuso al mondo.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Effetto Hall · Forza di Lorentz

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