Bilancio energetico del circuito RLC

L’energia immagazzinata nel circuito è la somma di quella elettrica nel condensatore e di quella magnetica nell’induttore:

$\ev{E(t) = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2}}$

Deriviamo rispetto al tempo usando $i = -dQ/dt$:

$\begin{aligned} \frac{dE}{dt} &= \frac{Q}{C}\,\dot{Q} + L\,i\,\dot{\imath} \\ &= -\frac{Q}{C}\,i + L\,i\,\dot{\imath} \end{aligned}$

Dall’equazione di Kirchhoff, isolando $L\,di/dt$: $L\,\dot{\imath} = \Delta V_\text{gen} - R\,i + Q/C$. Sostituendo:

$\frac{dE}{dt} = -\frac{Q}{C}\,i + i\left(\Delta V_\text{gen} - R\,i + \frac{Q}{C}\right) = \Delta V_\text{gen}\cdot i - R\,i^2$

Principio — Bilancio energetico del circuito RLC

$\ev{\frac{dE}{dt} = P_\text{gen} - P_R}$ con $P_\text{gen} = \Delta V_\text{gen}\cdot i$ (potenza immessa dal generatore, positiva quando cede energia al circuito) e $P_R = R\,i^2 \geq 0$ (potenza dissipata per effetto Joule nel resistore). Se $dE/dt > 0$ il circuito sta accumulando energia; se $dE/dt < 0$ la sta cedendo.

Formula chiave

$E = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2}, \qquad \frac{dE}{dt} = \Delta V_\text{gen}\cdot i - R\,i^2$

Il bilancio è trasparente: l’unica sorgente di energia è il generatore, l’unico pozzo è il resistore. Condensatore e induttore non dissipano nulla, si limitano a scambiare energia avanti e indietro; è la resistenza a segnare il conto irreversibile in calore.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Effetto Joule · Densità di energia del campo

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