Problema — Corrente di spostamento e campo esterno

Testo

Usando la legge di Ampère-Maxwell, spiega perché il campo magnetico generato dalla corrente di spostamento tra le armature di un condensatore in carica è, all’esterno del condensatore ($r > R_0$, con $R_0$ raggio delle armature), del tutto indistinguibile da quello che produrrebbe una corrente $i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,(\dd E/\dd t)$ che scorresse in un filo rettilineo lungo l’asse.

Soluzione

Impostazione. La legge di Ampère-Maxwell afferma che la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa $\gamma$ dipende sia dalla corrente di conduzione concatenata sia dalla variazione del flusso elettrico attraverso una qualsiasi superficie che si appoggia su $\gamma$:

$\oint_\gamma \vv B\cdot\dd\vv\ell = \mu_0 i_\text{cond} + \mu_0\varepsilon_0\,\ddt{\Phi_E}$

Scelta della linea. Prendiamo come $\gamma$ una circonferenza di raggio $r > R_0$ centrata sull’asse del condensatore, coassiale con le armature. Tra le armature non c’è corrente di conduzione ($i_\text{cond} = 0$): il campo magnetico è dovuto solo al termine di spostamento.

Flusso elettrico concatenato. Il campo elettrico è confinato tra le armature, all’interno del disco di raggio $R_0$. Perciò il flusso elettrico attraverso qualunque superficie appoggiata su $\gamma$ è dovuto solo a quel disco:

$\Phi_E = E\,\pi R_0^2$

ed è quindi indipendente da $r$: qualunque sia il raggio della linea (purché $r > R_0$), il flusso concatenato è sempre lo stesso.

Termine di spostamento. Derivando:

$\mu_0\varepsilon_0\,\ddt{\Phi_E} = \mu_0\varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E} = \mu_0\,i \qquad\text{con}\qquad i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E}$

Conclusione. La circuitazione diventa allora

$\oint_\gamma \vv B\cdot\dd\vv\ell = \mu_0\,i$

che è esattamente la legge di Ampère per un filo rettilineo percorso da corrente $i$. Per simmetria $B$ è costante lungo $\gamma$ e tangente, quindi $\Gamma_B = B\cdot 2\pi r = \mu_0 i$, da cui

$\ev{B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}, \qquad i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E}}$

identico al campo di un filo. All’esterno non si può distinguere la corrente di spostamento tra le armature da una vera corrente di conduzione nel filo: è proprio questa continuità che garantisce la coerenza delle equazioni di Maxwell.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Teorema di Ampère