La dilatazione dei tempi

Poniamo l’orologio a luce su un treno che viaggia a velocità $v$ rispetto alla stazione. Chiamiamo SR treno (SRT) il sistema solidale al treno e SR binario (SRB) quello della stazione. Lo stesso identico tic-tac verrà cronometrato in modo diverso dai due osservatori, ed è proprio da questo confronto che nasce la relatività del tempo.

Visto dal treno (SRT): il raggio sale e scende in linea retta, esattamente come prima, e il tic-tac dura $\Delta\tau = 2d/c$. È il tempo proprio dell’orologio, misurato da chi viaggia con esso.

Visto dal binario (SRB): mentre il raggio sale, il treno — e con esso lo specchio superiore — si sposta lateralmente. Il raggio traccia quindi un percorso più lungo, a zig-zag:

Il percorso a zig-zag visto dal binario. In un tic-tac il treno avanza di $v\,\Delta t$, e il raggio percorre l’ipotenusa: più lunga della semplice salita-discesa vista dal treno.

Poiché la luce viaggia a $c$ anche nel SRB (secondo postulato), per coprire un percorso più lungo impiega più tempo. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di metà percorso, i cui cateti sono l’altezza $d$ e lo spostamento laterale $v\,\Delta t/2$, e la cui ipotenusa è il tratto di luce $c\,\Delta t/2$:

$\left(\frac{c\,\Delta t}{2}\right)^2 = d^2 + \left(\frac{v\,\Delta t}{2}\right)^2$

Sostituendo $d = c\,\Delta\tau/2$ e riordinando i termini si isola $\Delta t$:

$(c^2 - v^2)(\Delta t)^2 = c^2(\Delta\tau)^2$

$\ev{\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta\tau}$

dove $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ è il fattore di Lorentz.

Formula chiave

$\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$

Poiché $\gamma \geq 1$, si ha sempre $\Delta t \geq \Delta\tau$: il tic-tac dell’orologio in moto, cronometrato da terra, dura di più. Detto altrimenti, l’orologio in moto ticchetta più lentamente.

Legge — Dilatazione dei tempi

Un orologio in moto rispetto a un osservatore gira più lentamente rispetto a un orologio fermo. Più precisamente, se due eventi avvengono nello stesso punto del SR di un osservatore (per esempio il tic e il tac dell’orologio del treno), nel SR di un altro osservatore in moto relativo a velocità $v$ essi sono separati da un tempo $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau > \Delta\tau$.

Tempo proprio

Il tempo più breve tra due eventi è sempre quello misurato nel sistema di riferimento in cui i due eventi sono cospaziali (avvengono nello stesso punto). Questo tempo è detto tempo proprio $\Delta\tau$.

Nessuno può superare la velocità della luce

Se fosse $v > c$, avremmo $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ immaginario: $\Delta t$ sarebbe un numero complesso, mentre ci aspettiamo un tempo reale. Questa impossibilità matematica ha un significato profondo: nessun oggetto massivo può raggiungere la velocità della luce. Solo le particelle senza massa (fotoni, gluoni) viaggiano a $c$, e lo fanno esattamente a $c$, in ogni sistema di riferimento.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski Oggetti: Orologio a luce

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