La diseguaglianza triangolare inversa

Nella geometria euclidea vale la celebre disuguaglianza triangolare: in un triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo. Equivalentemente, una linea spezzata è sempre più lunga della linea retta che congiunge gli stessi estremi. È l’affermazione geometrica che “la via più breve è quella diritta”.

In relatività ristretta accade esattamente il contrario. Per gli intervalli di tempo proprio $\Delta\tau$, misurati lungo il moto di un viaggiatore, una traiettoria spezzata è sempre più corta di una retta. La ragione sta nel segno meno dell’invariante: mentre la distanza euclidea somma i quadrati, il tempo proprio li sottrae,

$(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2,$

così che ogni tratto di moto spaziale $\Delta s$ toglie tempo proprio invece di aggiungerne. L’invariante relativistico si comporta come un “tempo negativo”, e la disuguaglianza triangolare si rovescia: la spezzata perde tempo proprio a ogni deviazione.

Concretamente: se un viaggiatore va da un evento $E_A$ a un evento $E_B$ (connessi da un intervallo tipo tempo), può farlo in linea retta oppure spezzando il percorso in tappe intermedie. Sommando i tempi propri dei singoli tratti — ciascuno calcolato con l’invariante — si trova sempre un totale minore del tempo proprio della traiettoria diretta. La retta massimizza; ogni spezzata accorcia.

Principio — Massimizzazione del tempo proprio

Fra due eventi $E_A$ ed $E_B$ connessi da un intervallo di tipo tempo, la traiettoria rettilinea uniforme è quella che massimizza il tempo proprio. Qualsiasi deviazione da essa — cioè qualsiasi cambio di sistema di riferimento — accorcia il tempo proprio sperimentato dal viaggiatore.

Questa è la ragione profonda del paradosso dei gemelli. Di due gemelli, quello che segue una traiettoria spezzata (parte, poi inverte la rotta, cioè cambia sistema di riferimento) invecchia meno di quello che resta fermo in un solo inerziale. Da qui la regola d’oro: “il gemello fermo è sempre il più vecchio”. Chi non cambia mai sistema di riferimento vive il massimo tempo proprio possibile tra due eventi; ogni accelerazione, ogni deviazione, è tempo di vita sottratto.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Dilatazione dei tempi Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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