Problema — Il GPS quantitativo

Testo

Un satellite GPS orbita a quota $h=20\,200$ km con velocità orbitale $v\approx 3{,}87$ km/s. Confronta l’effetto di dilatazione speciale (dovuto a $v$) con l’effetto di dilatazione gravitazionale (dovuto al $\Delta\phi$ rispetto al suolo): quale dei due è più grande? Di quanto si sfaserebbe un orologio del satellite rispetto a uno terrestre in $24$ ore senza correzioni? Dati: $g=9{,}8$ m/s², $R_T=6378$ km, $GM_T\approx 4{,}0\cdot 10^{14}$ m³/s².

Soluzione

Effetto di relatività ristretta (velocità). Il satellite si muove, quindi il suo orologio rallenta rispetto al suolo. Al primo ordine la frazione è $-v^2/(2c^2)$. Con $v = 3870$ m/s: $\frac{\Delta t_\text{RR}}{t} = -\frac{v^2}{2c^2} = -\frac{(3870)^2}{2\cdot 9\cdot 10^{16}} = -\frac{1{,}50\cdot 10^{7}}{1{,}8\cdot 10^{17}} \approx -8{,}3\cdot 10^{-11}$ Su un giorno ($86\,400$ s): $\Delta t_\text{RR} \approx -8{,}3\cdot 10^{-11}\cdot 86\,400\ \text{s} \approx \ev{-7{,}2\ \mu\text{s/giorno}}$

Effetto di relatività generale (potenziale gravitazionale). Il satellite è più in alto, in un potenziale meno negativo, quindi il suo orologio accelera. La frazione è $\Delta\phi/c^2$ con $\Delta\phi = GM_T\!\left(\dfrac{1}{R_T} - \dfrac{1}{R_T+h}\right)$. Con $R_T = 6{,}378\cdot 10^6$ m e $R_T+h = 6{,}378\cdot 10^6 + 2{,}02\cdot 10^7 = 2{,}658\cdot 10^7$ m: $\Delta\phi = 4{,}0\cdot 10^{14}\left(\frac{1}{6{,}378\cdot 10^6} - \frac{1}{2{,}658\cdot 10^7}\right) = 4{,}0\cdot 10^{14}\cdot 1{,}19\cdot 10^{-7} \approx 4{,}77\cdot 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2$ $\frac{\Delta t_\text{RG}}{t} = \frac{\Delta\phi}{c^2} = \frac{4{,}77\cdot 10^{7}}{9\cdot 10^{16}} \approx +5{,}3\cdot 10^{-10}$ Su un giorno: $\Delta t_\text{RG} \approx +5{,}3\cdot 10^{-10}\cdot 86\,400\ \text{s} \approx \ev{+45{,}7\ \mu\text{s/giorno}}$

Confronto e sfasamento netto. L’effetto gravitazionale (RG) è più grande in modulo di quello di velocità (RR) e ha segno opposto. Il satellite va complessivamente più veloce del suolo: $\Delta t_\text{netto} = \Delta t_\text{RG} + \Delta t_\text{RR} \approx +45{,}7 - 7{,}2 \approx \ev{+38{,}5\ \mu\text{s/giorno}}$

Interpretazione. Senza correzioni, gli orologi GPS anticiperebbero di circa $38{,}5$ μs al giorno. Poiché la luce percorre $\sim 30$ cm in un nanosecondo, un errore di $38\,500$ ns corrisponderebbe a un errore di posizione di circa $11$ km al giorno: il GPS sarebbe inutilizzabile in poche ore. La relatività non è un lusso teorico, ma un ingrediente ingegneristico indispensabile.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Impostazione simbolica · Analisi di casi limite e fantafisica