Il limite di basse velocità

Se la dilatazione dei tempi è reale, perché non ce ne accorgiamo mai? La risposta sta nel comportamento del fattore di Lorentz quando le velocità sono molto minori di quella della luce. Per $v \ll c$ possiamo usare lo sviluppo al primo ordine $(1-\varepsilon)^{-1/2} \approx 1 + \varepsilon/2$, con $\varepsilon = v^2/c^2$:

$\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$

Lo scostamento di $\gamma$ da $1$ non cresce come $v$, ma come $v^2/c^2$: è quindi doppiamente piccolo alle velocità ordinarie. È questo il motivo per cui la fisica di Galileo funziona benissimo nella vita di tutti i giorni — la correzione relativistica c’è, ma è annegata in un fattore $(v/c)^2$ minuscolo.

Esempio — La Terra in orbita

La Terra orbita intorno al Sole a $v = 30\;\text{km/s}$, cioè $v/c \approx 10^{-4}$. Il fattore di Lorentz vale $\gamma \approx 1 + 5\cdot 10^{-9}$: la differenza tra tempo proprio e tempo dilatato è dell’ordine di cinque miliardesimi. Irrilevante nella vita quotidiana, ma perfettamente misurabile con orologi atomici.

GPS e relatività

I satelliti del sistema GPS orbitano a $\sim 14\,000\;\text{km/h}$ e sperimentano una dilatazione dei tempi di qualche microsecondo al giorno. Se non si corregge per questo effetto (e per un secondo effetto di relatività generale dovuto al diverso potenziale gravitazionale), il GPS accumula errori di circa $10\;\text{km}$ al giorno! La relatività non è solo teoria: è nel tuo smartphone.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica · Analisi dimensionale

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