Unità naturali

In tutta la trattazione relativistica conviene usare un sistema di unità un po’ insolito ma estremamente comodo: lo spazio si misura in secondi-luce, il tempo in secondi. In queste unità la velocità della luce vale semplicemente

$\ev{c = 1\ \text{(adimensionale)}}$

e le formule relativistiche perdono un sacco di $c$ e $c^2$ che servivano solo per rimettere a posto le unità di misura. Non è un trucco: è la scelta di misurare le distanze con lo stesso “righello” con cui misuriamo i tempi, cioè con la luce.

Principio — Unità naturali della relatività

Definiamo:

• secondo-luce (sl) = distanza percorsa dalla luce in $1\,\text{s}$ $\approx 3{,}00\cdot 10^8\,\text{m}\approx 300\,000\,\text{km}$;
• minuto-luce (ml) $\approx 1{,}80\cdot 10^{10}\,\text{m}$;
• ora-luce (h-luce) $\approx 1{,}08\cdot 10^{12}\,\text{m}$;
• anno-luce (a.l.) $\approx 9{,}46\cdot 10^{15}\,\text{m}$.

Una velocità, in queste unità, è un numero puro (sl/s oppure a.l./anno) sempre compreso tra $0$ e $1$. La luce viaggia a $1$; nient’altro può.

Tip

In unità naturali, $v=0{,}5$ significa “metà della velocità della luce”. Una velocità $v=2$ è impossibile per principio: un oggetto materiale non può eccedere $c=1$.

Queste unità hanno un sapore cosmico: l’universo, su scala astronomica, è già misurato in modo naturale in tempi-luce. La Luna dista $\approx 1{,}3$ secondi-luce dalla Terra; il Sole, $\approx 8{,}3$ minuti-luce; Plutone, $\approx 5{,}5$ ore-luce; la stella più vicina, Proxima Centauri, $\approx 4{,}24$ anni-luce; il centro della nostra galassia, $\approx 26\,000$ anni-luce; la galassia di Andromeda, $\approx 2{,}5$ milioni di anni-luce. È come se l’universo ci suggerisse da solo: “smettete di convertire in chilometri, usate i tempi-luce”.

Perché proprio queste unità?

Misurare lo spazio in secondi-luce significa, in fondo, misurare le distanze usando la luce come righello. È quello che già si fa con il radar (distanze terrestri) e con i riflettori laser sulla Luna (programma Apollo). Il GPS opera nello stesso modo: il satellite trasmette il tempo a cui ha emesso il segnale, il ricevitore misura il ritardo, e dalla relazione $d = c\,\Delta t$ ricostruisce la distanza. Quindi, in pratica, già nella vita di tutti i giorni misuriamo lo spazio in tempi-luce; siamo noi a riconvertire artificialmente in metri perché il SI ce lo impone.

Ecco l’invariante e le formule principali nelle due forme, con e senza $c$:

	Unità SI	Unità naturali ($c=1$)
Invariante	$(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s/c)^2$	$(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2$
Velocità	$0\leq v\leq c$	$0\leq \beta\leq 1$
Fattore di Lorentz	$\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$	$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$
Energia di riposo	$E_0 = mc^2$	$E_0 = m$
Energia–impulso	$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$	$E^2 = p^2 + m^2$

Tip

In unità naturali $\beta\equiv v/c$. Quando vediamo scritto $v=0{,}9$ senza unità, va inteso come $v=0{,}9\,c$.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale Competenze: Analisi dimensionale Metodi: Unità naturali

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