Tipo spazio o tipo tempo

Testo

Nel SR del laboratorio quattro eventi hanno coordinate (in secondi e secondi-luce) $E_1=(0,0)\quad E_2=(5,3)\quad E_3=(2,7)\quad E_4=(4,4).$ Per ciascuna delle coppie $\{E_1,E_2\}$, $\{E_1,E_3\}$, $\{E_1,E_4\}$, $\{E_2,E_3\}$: (a) classifica l’intervallo; (b) calcola $\Delta\tau$ oppure $\Delta\sigma$; (c) trova la velocità del SR di cospazialità (per gli intervalli tipo tempo) o di simultaneità (per quelli tipo spazio).

Soluzione

Lavoriamo in unità naturali con $c=1$ (tempi in s, distanze in sl). Per due eventi con separazione $\Delta t$ e $\Delta s$ l’invariante è $\Delta t^2 - \Delta s^2 \;\begin{cases}>0 & \text{tipo tempo}\\ =0 & \text{tipo luce}\\ <0 & \text{tipo spazio}\end{cases}$ Per un intervallo tipo tempo il tempo proprio è $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$ e il SR in cui i due eventi sono cospaziali (stesso luogo) viaggia a $v_\text{cosp}=\Delta s/\Delta t$. Per un intervallo tipo spazio la distanza propria è $\Delta\sigma=\sqrt{\Delta s^2-\Delta t^2}$ e il SR in cui i due eventi sono simultanei viaggia a $v_\text{sim}=\Delta t/\Delta s$.

Coppia $\{E_1,E_2\}$: $\Delta t=5$, $\Delta s=3$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 25-9 = 16 > 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo tempo}$ $\Delta\tau_{12}=\sqrt{16}=4\ \text{s}, \qquad v_\text{cosp}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3}{5}=0{,}6\,c$

Coppia $\{E_1,E_3\}$: $\Delta t=2$, $\Delta s=7$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 4-49 = -45 < 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo spazio}$ $\Delta\sigma_{13}=\sqrt{45}\ \text{sl}\approx 6{,}7\ \text{sl}, \qquad v_\text{sim}=\frac{\Delta t}{\Delta s}=\frac{2}{7}\approx 0{,}29\,c$

Coppia $\{E_1,E_4\}$: $\Delta t=4$, $\Delta s=4$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 16-16 = 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo luce}$ $\Delta\tau_{14}=0$ I due eventi sono collegabili da un raggio di luce: giacciono sulla bisettrice del cono di luce (la retta tratteggiata in figura).

Coppia $\{E_2,E_3\}$: $\Delta t=2-5=-3$, $\Delta s=7-3=4$. $\Delta s^2-\Delta t^2 = 16-9 = 7 > 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo spazio}$ $\Delta\sigma_{23}=\sqrt{7}\ \text{sl}\approx 2{,}65\ \text{sl}, \qquad v_\text{sim}=\frac{|\Delta t|}{|\Delta s|}=\frac{3}{4}=0{,}75\,c$

Riepilogo. $\ev{\{12\}\ \text{tempo},\ \Delta\tau=4\,\text{s};\quad \{13\}\ \text{spazio},\ \Delta\sigma=\sqrt{45}\,\text{sl};\quad \{14\}\ \text{luce},\ \Delta\tau=0;\quad \{23\}\ \text{spazio},\ \Delta\sigma=\sqrt{7}\,\text{sl}}$

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Relatività della simultaneità Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski · Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali