Problema — Particella o fotone

Testo

In un laboratorio una particella ha energia $E=10^{12}$ J e quantità di moto $p=3000$ kg·m/s. Calcola (a) la massa a riposo, (b) la velocità, (c) stabilisci se può essere un fotone, confrontando con la relazione $E=pc$.

Soluzione

(a) Massa a riposo — dall’invariante energia-impulso. Vale $E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$, quindi $m = \frac{\sqrt{E^2 - (pc)^2}}{c^2}$ Calcolo $pc = 3000\cdot 3\cdot 10^8 = 9\cdot 10^{11}$ J, così $E^2 - (pc)^2 = (10^{12})^2 - (9\cdot 10^{11})^2 = 1{,}0\cdot 10^{24} - 0{,}81\cdot 10^{24} = 1{,}9\cdot 10^{23}\ \text{J}^2$ $m = \frac{\sqrt{1{,}9\cdot 10^{23}}}{9\cdot 10^{16}} = \frac{4{,}36\cdot 10^{11}}{9\cdot 10^{16}} \approx \ev{m \approx 4{,}8\cdot 10^{-6}\ \text{kg}}$

(b) Velocità. Dividendo $p=\gamma mv$ per $E=\gamma mc^2$ si ottiene $p/E = v/c^2$, quindi $v = \frac{p\,c^2}{E} = \frac{3000\cdot 9\cdot 10^{16}}{10^{12}} = \frac{2{,}7\cdot 10^{20}}{10^{12}} = 2{,}7\cdot 10^8\ \text{m/s}$ $\ev{v = 0{,}9\,c}$

(c) È un fotone? Un fotone ha massa nulla e soddisfa $E = pc$. Qui invece $E = 10^{12}\ \text{J} \neq pc = 9\cdot 10^{11}\ \text{J}$ I due valori differiscono, e la massa a riposo trovata è diversa da zero ($\approx 4{,}8\cdot 10^{-6}$ kg): dunque non è un fotone, ma una particella massiva che viaggia a $0{,}9\,c$.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Equivalenza massa-energia · Quantità di moto relativistica · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica