Il piano di Minkowski e il cono di luce

Il diagramma con cui abbiamo classificato gli intervalli è un caso particolare del piano di Minkowski (Hermann Minkowski, 1908): lo strumento geometrico canonico per pensare la relatività ristretta. La regola per costruirlo è semplicissima, e trasforma domande fisiche sottili in questioni di geometria elementare.

Convenzione del piano di Minkowski

Si rappresenta ogni evento come un punto su un piano cartesiano in cui:

• l’asse orizzontale è il tempo $t$ (o $ct$ se non si usano unità naturali);
• l’asse verticale è una coordinata spaziale $s$;
• i raggi di luce, di pendenza unitaria ($|\Delta s/\Delta t| = 1$), formano due rette a $45^\circ$ uscenti dall’evento.

Con questa convenzione ogni inerziale ha la sua coppia di rette di luce a $45^\circ$ (postulato di Einstein), e il cono di luce è una proprietà invariante dello spazio-tempo.

In molti libri si trova lo schema con $t$ in ordinata e $s$ in ascissa, con le frecce di luce sempre a $45^\circ$: è del tutto identico, basta ruotare il foglio. Qui teniamo $t$ in ascissa per coerenza con i diagrammi orari delle prime classi.

Linea di mondo

La traiettoria di una particella nel piano di Minkowski si chiama linea di mondo. Per un osservatore inerziale fermo nel SR del laboratorio la coordinata $s$ resta costante: la sua linea di mondo è una retta verticale, parallela all’asse $s=0$. Per un osservatore che si muove a velocità $v$ vale invece $s = v\cdot t$: la sua linea di mondo è inclinata rispetto alla verticale. Più veloce è l’osservatore, più la linea di mondo “si sdraia” verso il cono di luce; mai però oltre i $45^\circ$, perché $|v|<c=1$. Il cono di luce è dunque un limite geometrico invalicabile per ogni linea di mondo materiale.

Passato, futuro, altrove

Il cono di luce attraverso un evento $O$ divide il piano di Minkowski in tre regioni qualitativamente diverse.

Il cono di luce divide il piano di Minkowski in futuro, passato e altrove. Le linee di mondo materiali (osservatore fermo e in moto) restano sempre dentro il cono.

• Futuro di $O$: la regione a destra, chiusa dentro il cono di luce verso valori crescenti di $t$. Tutti gli eventi qui dentro sono di tipo tempo rispetto a $O$, e $O$ può influenzarli con un segnale fisico, una particella materiale o un raggio di luce. L’ordine temporale è univoco: $O$ precede tutti.
• Passato di $O$: la regione a sinistra. Sono eventi di tipo tempo rispetto a $O$, ma che lo possono aver influenzato: $O$ viene dopo di essi, in qualsiasi SR.
• Altrove: le due regioni sopra e sotto, fuori dal cono di luce. Tutti gli eventi qui dentro sono di tipo spazio rispetto a $O$. Nessun segnale fisico li collega; l’ordine temporale dipende dal SR, e non c’è causalità.

Sintesi

Cono di luce: futuro / passato / altrove. Tipo tempo $\Leftrightarrow$ dentro al cono. Tipo spazio $\Leftrightarrow$ fuori dal cono. Tipo luce $\Leftrightarrow$ sul cono.

Nota storica — Minkowski

Minkowski era stato il maestro di matematica di Einstein a Zurigo, e nel 1908 propose una riformulazione geometrica della relatività ristretta in uno spazio-tempo a quattro dimensioni. La sua frase famosa, nella conferenza di Colonia del 21 settembre 1908, è: “D’ora in avanti lo spazio in sé e il tempo in sé sono condannati a dissolversi in pure ombre, e solo una specie di unione dei due conserverà una realtà indipendente” (Kumar 2010, p. 104; vedi Riferimenti bibliografici). Einstein, che già possedeva tutti i risultati fisici, accolse inizialmente la riformulazione con scetticismo (“superflua erudizione matematica”, disse), ma se ne ricredette quando, dieci anni dopo, gli servì per costruire la relatività generale: lì il piano di Minkowski diventa il caso particolare “piatto” di uno spazio-tempo curvo, e diventa indispensabile.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski Metodi: Diagramma di Minkowski Oggetti: Orologio a luce

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