La formula della simultaneità

Abbiamo già visto, nella storia del Buono, del Brutto e del Cattivo, che due eventi simultanei in un sistema di riferimento (SR) non lo sono più in un altro SR in moto relativo. Ora facciamo il passo quantitativo: ricaviamo la formula esatta per la differenza di tempi che quei due eventi mostrano nell’altro SR. È una delle tre formule fondamentali della relatività, insieme alla dilatazione dei tempi e alla contrazione delle lunghezze.

Disposizione. Consideriamo due eventi $E_1$ ed $E_2$ che in SRA avvengono simultaneamente e sono separati dal vettore $\vv{L}_{12(A)}$ (cioè $E_2$ è “avanti” rispetto a $E_1$ lungo la direzione del moto di SRB). Chiamiamo $\vv{v}$ la velocità di SRB rispetto a SRA e $\vv{\beta} = \vv{v}/c$. Ci chiediamo quanto vale $\Delta t_{12(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)}$ in SRB.

Derivazione con eventi e leggi del moto. Prendiamo come esempio concreto il duello western. Il Buono, nel mezzo, spara due raggi laser simultanei in SRA. L’evento $E_1$ è l’arrivo del primo raggio sul Cattivo (a sinistra, controcorrente rispetto al moto dell’avvoltoio); $E_2$ è l’arrivo del secondo raggio sul Brutto (a destra, nel verso del moto). In SRA, per simmetria, $E_1$ ed $E_2$ sono simultanei. In SRB, invece, vediamo Brutto e Cattivo come un’unica asta contratta di lunghezza $L_{(B)} = L_{(A)}\sqrt{1 - v^2/c^2}$: il Brutto viene incontro all’avvoltoio a velocità $v$ e il Cattivo se ne allontana alla stessa velocità.

Il Buono spara in SRB nell’evento $E_0$, posto per comodità a $t_{0(B)} = 0$ e $s_{0(B)} = 0$. Il raggio verso il Cattivo viaggia a velocità $-c$ (legge $s = -ct$) e deve raggiungere il Cattivo, che si muove nel verso positivo con legge $s = vt + L_{(B)}/2$; il raggio verso il Brutto viaggia a $+c$ (legge $s = ct$) e insegue il Brutto, con legge $s = vt - L_{(B)}/2$. Risolvendo i due sistemi lineari si trovano gli istanti d’arrivo:

$t_{1(B)} = \frac{L_{(B)}/2}{c-v}, \qquad t_{2(B)} = \frac{L_{(B)}/2}{c+v}$

La differenza è una sola espressione algebrica:

$\Delta t_{12(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)} = \frac{L_{(B)}}{2}\left(\frac{1}{c+v} - \frac{1}{c-v}\right) = -\frac{v\,L_{(B)}}{c^2 - v^2}$

Sostituendo $L_{(B)} = L_{(A)}\sqrt{1-v^2/c^2}$ e semplificando, tutto collassa in un risultato pulito:

$\ev{\Delta t_{12(B)} = -\,\beta\,\gamma\,\frac{L_{(A)}}{c}}$

Il segno meno è la parte più istruttiva: ricorda che in SRB l’evento “a valle” del moto (quello nel verso della velocità) accade per primo. La simultaneità non è assoluta, e chi si sposta vede accadere prima ciò che sta davanti a sé nella direzione del moto.

In forma vettoriale, valida per una separazione $\vv{L}_{12(A)}$ orientata comunque:

$\Delta t_{12(B)} = -\,\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\vv{L}_{12(A)}}{c}$

Solo la componente di $\vv{L}_{12(A)}$ lungo il moto conta: eventi separati trasversalmente al moto restano simultanei anche nell’altro SR.

Formula chiave

$\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\vv{L}_{12(A)}}{c}$ Vale per due eventi simultanei in SRA, con $\vv{L}_{12(A)}$ diretto da $E_1$ a $E_2$. L’evento a valle del moto accade per primo nell’altro SR.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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