Quantità di moto relativistica e invariante energia-impulso

Anche la quantità di moto cambia in relatività. Per una particella di massa $m$ che si muove a velocità $\vec{v}$ non vale più il semplice $m\vec{v}$ di Newton, ma la sua versione corretta dal fattore di Lorentz:

$\ev{\vec{p} = \gamma\,m\,\vec{v}}$

La presenza di $\gamma$ ha una conseguenza spettacolare: quando $v \to c$, il fattore $\gamma \to \infty$ e quindi $|\vec{p}| \to \infty$. L’inerzia “effettiva” della particella diverge — servirebbe una spinta infinita per accelerarla ancora un po’ — ed è questa un’altra ragione profonda per cui nessun oggetto massivo può raggiungere la velocità della luce.

Combinando energia e quantità di moto si trova una relazione dalla bellezza sorprendente. Se in un sistema di riferimento la particella ha energia $E$ e impulso $p$, la combinazione $E^2 - (pc)^2$ non cambia passando da un sistema all’altro: è un invariante.

Principio — Invariante energia-impulso

$\ev{E^2 - (p\,c)^2 = (m\,c^2)^2}$ Il membro di destra dipende solo dalla massa a riposo $m$ ed è lo stesso in tutti i sistemi di riferimento.

Questo è potentissimo dal punto di vista pratico: misurando $E$ e $p$ in un qualsiasi sistema di riferimento — per quanto la particella si stia muovendo velocemente — si può dedurre la sua massa a riposo, che è una proprietà intrinseca e non dipende dallo stato di moto. È il modo in cui, negli acceleratori, si identificano le particelle a partire dalle loro tracce.

Formula chiave

$E = \gamma\,mc^2$ $p = \gamma\,mv$ $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ Fotone: $m = 0$, quindi $E = pc$.

Il caso limite del fotone è particolarmente istruttivo. Ponendo $m = 0$ nell’invariante, il membro di destra si annulla e resta $E = pc$: una particella senza massa può comunque trasportare energia e quantità di moto, purché viaggi esattamente a $c$. La luce non è “materia leggera”, è qualcosa di qualitativamente diverso, e l’invariante energia-impulso lo cattura in una riga.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Quantità di moto relativistica

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