Problema — Redshift gravitazionale sull'Everest

Testo

Quanto rallenta un orologio al livello del mare rispetto a uno sulla cima dell’Everest ($H=8848$ m)? Esprimi la differenza in nanosecondi al giorno e indica quale dei due orologi va più veloce.

Soluzione

Formula del redshift gravitazionale. In un campo gravitazionale uniforme di accelerazione $g$, due orologi separati in quota da $H$ tengono ritmi diversi. Il rapporto frazionario fra le velocità di scorrimento è $\frac{\Delta t}{t} = \frac{g\,H}{c^2}$

Sostituzione numerica. Con $g = 9{,}81$ m/s², $H = 8848$ m e $c^2 = 9\cdot 10^{16}$ m²/s²: $\frac{\Delta t}{t} = \frac{9{,}81\cdot 8848}{9\cdot 10^{16}} = \frac{8{,}68\cdot 10^{4}}{9\cdot 10^{16}} \approx 9{,}64\cdot 10^{-13}$

Scarto accumulato in un giorno. Un giorno dura $t = 86\,400$ s, quindi $\Delta t = 9{,}64\cdot 10^{-13}\cdot 86\,400\ \text{s} \approx 8{,}3\cdot 10^{-8}\ \text{s}$

$\ev{\Delta t \approx 83\ \text{ns/giorno}}$

Quale va più veloce. Più ci si allontana dalla massa (potenziale gravitazionale meno negativo, quota maggiore), più il tempo scorre veloce. L’orologio sulla cima dell’Everest va più veloce di quello al livello del mare, guadagnando circa $83$ nanosecondi al giorno. È lo stesso effetto — a scala molto più grande — che va corretto nei satelliti GPS.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Impostazione simbolica