La catastrofe ultravioletta

Che cosa prevede la fisica classica per lo spettro di un corpo nero? Il calcolo fu svolto da Lord Rayleigh e James Jeans intorno al 1900. L’idea è trattare la radiazione dentro la cavità come un insieme di onde stazionarie (i “modi” del campo elettromagnetico) e assegnare a ciascun modo, per il principio classico di equipartizione dell’energia, la stessa energia media $k_B T$. Contando quanti modi cadono in ciascun intervallo di lunghezze d’onda si ottiene la densità spettrale

$u_{RJ}(\lambda,T) = \frac{8\pi\,k_B\,T}{\lambda^4}$

La formula funziona benissimo per le grandi lunghezze d’onda (infrarosso, microonde), dove si sovrappone alla curva misurata. Ma nasconde un disastro: il fattore $1/\lambda^4$ fa crescere illimitatamente $u_{RJ}$ quando $\lambda \to 0$. Più corta è la lunghezza d’onda, più energia la teoria classica attribuisce alla cavità, senza alcun limite.

L’assurdità diventa evidente calcolando l’energia totale, che è l’area sotto la curva, cioè l’integrale su tutte le lunghezze d’onda:

$U_\text{tot} \propto \int_0^\infty \frac{1}{\lambda^4}\,\dd\lambda = \infty$

Il risultato è infinito. Preso alla lettera, ogni oggetto tiepido — un calorifero acceso, un corpo umano — dovrebbe irradiare istantaneamente una quantità infinita di energia nelle lunghezze d’onda ultraviolette e oltre, annichilendo di fatto l’universo. È la celebre catastrofe ultravioletta, espressione coniata da Paul Ehrenfest nel 1911: il nome sottolinea che il guaio esplode nella regione delle piccole $\lambda$ (l’ultravioletto e oltre).

Sperimentalmente, naturalmente, non succede nulla di simile. La curva reale sale, raggiunge un picco a $\lambda_\text{max}$ e poi precipita a zero proprio là dove la formula classica divergerebbe. Il confronto tra le due curve è impietoso: coincidono nell’infrarosso, ma nell’ultravioletto la previsione classica e il dato sperimentale prendono strade opposte. Non si trattava di un piccolo scarto numerico da correggere: la fisica classica era radicalmente incompatibile con l’osservazione.

La previsione classica di Rayleigh-Jeans (rosso) diverge come $1/\lambda^4$ per $\lambda \to 0$: è la catastrofe ultravioletta. La curva realmente misurata (blu, poi spiegata da Planck) ha invece un picco a $\lambda_\text{max}$ e crolla a zero verso le piccole lunghezze d’onda.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Corpo nero e ipotesi di Planck

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