Sbarretta in campo magnetico: induzione, dinamica ed energia

Testo

Una sbarretta conduttrice di massa $m$, lunghezza $\ell$, resistenza $R$ scivola senza attrito su due binari orizzontali paralleli, immersi in un campo magnetico uniforme $\pq{B}$ perpendicolare al piano dei binari. La sbarretta parte da ferma con una forza esterna costante $\pq{F}_0$ applicata. Determinare: (a) la legge oraria della velocità, (b) la velocità limite, (c) la potenza dissipata nella resistenza a regime.

Soluzione

Impostazione (schema a stadi). Il problema intreccia tre leggi: la seconda di Newton (dinamica), la legge di Faraday-Neumann-Lenz (induzione) e il bilancio energetico. Le mettiamo in sequenza.

Stadio 1 — induzione. Muovendosi con velocità $v$, la sbarretta genera una forza elettromotrice indotta (legge di Faraday, area che varia): $\Gamma_E = -B\ell v$ La corrente nel circuito, di resistenza $R$, vale in modulo: $i = \frac{B\ell v}{R}$

Stadio 2 — dinamica. La corrente nel campo produce una forza di Laplace $F_\text{ind} = Bi\ell$ che, per la legge di Lenz, si oppone al moto. La seconda legge di Newton lungo i binari è: $m\,\ddt{v} = F_0 - Bi\ell = F_0 - \frac{B^2\ell^2}{R}\,v$ È un’equazione differenziale lineare del primo ordine in $v$.

(a) Legge oraria. Ponendo $\tau = \dfrac{mR}{B^2\ell^2}$ e integrando con la condizione $v(0)=0$: $\ev{v(t) = \frac{F_0 R}{B^2\ell^2}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$ La velocità cresce esponenzialmente e satura: la stessa forma della carica di un condensatore.

(b) Velocità limite. A regime $\ddt{v}=0$, dunque $F_0 = \dfrac{B^2\ell^2}{R}v_\infty$: $\ev{v_\infty = \frac{F_0 R}{B^2\ell^2}}$

(c) Bilancio energetico a regime. A velocità costante l’accelerazione è nulla: tutta la potenza fornita dalla forza esterna viene dissipata per effetto Joule in $R$. $P_\text{diss} = P_\text{esterna} = F_0\, v_\infty = \frac{F_0^2 R}{B^2\ell^2}$ $\ev{P_\text{diss} = \frac{F_0^2 R}{B^2\ell^2}}$

Le tre aree si incastrano: l’induzione (cap. 18) fornisce la corrente, che entra nella dinamica (forza variabile, cap. 2) e determina la legge oraria; la conservazione dell’energia (cap. 4) chiude il conto a regime. La struttura matematica è la stessa equazione differenziale $\dot v = a - bv$ che governa anche la caduta con attrito viscoso.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica · Dinamica · Lavoro ed energia Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Forza di Laplace · Effetto Joule Competenze: Conservazione dell’energia