Teorema di Bernoulli

Più sottile e più potente dell’equazione di continuità è il teorema che mette insieme pressione, velocità e quota di un fluido lungo una stessa linea di flusso. È il cuore concettuale della fluidodinamica elementare e spiega, con un’unica idea, fenomeni apparentemente diversi tra loro.

Legge — Teorema di Bernoulli

Per un fluido ideale (non viscoso, incomprimibile) in moto stazionario, lungo una linea di flusso vale $\ev{P + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v^2 + \rho\,g\,h = \text{cost.}}$ La somma della pressione statica $P$, della pressione dinamica $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ e del termine gravitazionale $\rho g h$ è la stessa in ogni punto della linea di flusso.

Formula chiave

$P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{cost.}$ È la conservazione dell’energia scritta per unità di volume del fluido.

L’interpretazione del teorema è infatti energetica. Ciascun termine è un’energia per unità di volume: $P$ è l’energia di compressione, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ è l’energia cinetica e $\rho g h$ è l’energia potenziale gravitazionale, tutte riferite all’unità di volume di fluido. Che la loro somma resti costante lungo una stessa linea di flusso è semplicemente il principio di conservazione dell’energia applicato al fluido in moto (Lauga 2022; vedi Riferimenti bibliografici).

Una conseguenza immediata, e forse controintuitiva, si ottiene quando la quota non cambia.

Principio — Effetto Venturi

A quota costante ($h_1 = h_2$), dove la velocità del fluido aumenta la pressione diminuisce: $\Delta P = \tfrac{1}{2}\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$

Là dove il fluido corre più veloce, dunque, la pressione è più bassa. Questo legame inverso tra velocità e pressione è la chiave per capire i due esempi che seguono.

Portanza di un'ala d'aereo

Un’ala d’aereo ha la faccia superiore curva e quella inferiore quasi piatta. Il flusso d’aria che passa sopra deve percorrere un cammino più lungo nello stesso tempo, e corre quindi più veloce di quello che passa sotto. Per il teorema di Bernoulli, sopra l’ala la pressione è più bassa e sotto è più alta: la differenza di pressione, moltiplicata per l’area dell’ala, dà la forza di portanza che sostiene l’aereo.

Per un Boeing 747 (massa dell’ordine di $4\cdot 10^5\;\text{kg}$, area alare di circa $525\;\text{m}^2$, velocità di crociera $v \approx 250\;\text{m/s}$) la portanza per unità d’area deve valere $\rho_a (v_{\text{sopra}}^2 - v_{\text{sotto}}^2)/2 \approx 7\,500\;\text{N/m}^2$. Con $\rho_a \approx 1{,}2\;\text{kg/m}^3$ e $v_{\text{sotto}} = 250\;\text{m/s}$ ne segue $v_{\text{sopra}} \approx 265\;\text{m/s}$: basta una differenza di velocità del $6\%$ circa per tenere in aria $400$ tonnellate.

Foglio di carta che "si solleva"

Tieni un foglio di carta floscio in mano, parallelo al pavimento, e soffia orizzontalmente sopra la sua faccia superiore: il foglio si alza. Sopra la velocità dell’aria è alta (il tuo respiro), sotto è praticamente nulla; per Bernoulli, sopra la pressione è minore e sotto resta quella atmosferica, e la differenza spinge il foglio verso l’alto. È un esperimento da banco di scuola che mostra in diretta l’effetto Venturi.

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Teorema di Bernoulli · Pressione Oggetti: Ala d’aereo

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