Esercizio svolto — Pallina rimbalzante (semilog)

Testo

Una pallina rimbalza sul pavimento. Si misura l’altezza massima $h$ raggiunta ad ogni rimbalzo. Ci si aspetta che $h$ segua una legge esponenziale $h = a\cdot k^{n}$, dove $n$ è il numero del rimbalzo e $k < 1$ (ad ogni rimbalzo si perde una percentuale fissa di energia). Dati misurati (simulati con $a = 3{,}00$ m, $k = 0{,}87$, più rumore sperimentale). Esperienza di laboratorio 3C e 3F, Fanti 2024–25.

$n$	$h$ (m)	$\log_{10} h$
0	2{,}917	0{,}465
1	2{,}485	0{,}395
2	2{,}220	0{,}346
3	1{,}566	0{,}195
4	1{,}686	0{,}227
5	1{,}870	0{,}272
6	1{,}228	0{,}089
7	1{,}191	0{,}076
8	0{,}468	−0{,}330
9	1{,}035	0{,}015
10	0{,}941	−0{,}026

Ricava i parametri $a$ e $k$ della legge e interpreta il risultato fisicamente.

Soluzione

Impostazione. La legge attesa $h = a\,k^{n}$ è esponenziale: sul grafico lineare $(n,h)$ i punti disegnano una curva discendente, ma prendendo il logaritmo diventa una retta. $\log_{10}(h) = \log_{10}(a) + n\cdot\log_{10}(k)$ Ponendo $Y = \log_{10} h$, $q = \log_{10} a$ e $m = \log_{10} k$ si ha la retta $Y = q + m\,n$: la si ottiene disegnando i valori $\log_{10} h$ (terza colonna) in funzione di $n$, cioè il grafico semilogaritmico.

Regressione lineare. Il best-fit sui valori $\log_{10} h$ fornisce $Y = 0{,}447 - 0{,}0577\,n$ quindi pendenza $m = -0{,}0577$ e intercetta $q = 0{,}447$.

Recupero dei parametri. Dalla pendenza si ricava $k$, dall’intercetta si ricava $a$: $k = 10^{m} = 10^{-0{,}0577} \approx 0{,}875 \qquad a = 10^{q} = 10^{0{,}447} \approx 2{,}80\ \text{m}$ $\ev{a \approx 2{,}80\ \text{m}, \qquad k \approx 0{,}875}$

Interpretazione fisica. La pendenza è negativa, dunque $k < 1$: è un decadimento. La pallina “parte” da $2{,}80$ m al primo rimbalzo e ad ogni rimbalzo conserva il $87{,}5\%$ dell’altezza precedente, cioè perde circa il $12{,}5\%$ della sua energia potenziale (l’altezza è proporzionale all’energia). Il singolo punto molto basso a $n = 8$ è rumore sperimentale: la retta di best-fit lo “media” con gli altri, ed è proprio questo il vantaggio di adattare una retta invece di fidarsi di una singola misura.

I due grafici. A sinistra i dati in scala lineare (curva); a destra gli stessi dati in scala semilogaritmica, dove diventano una retta.

A sinistra: in scala lineare i punti seguono una curva esponenziale discendente, con la fit $h = 2{,}80\cdot 0{,}875^{\,n}$.

A destra: in scala semilogaritmica gli stessi punti si dispongono lungo una retta di pendenza $m = -0{,}0577$; da pendenza e intercetta si leggono $k$ e $a$.

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici